线性代数基本定理

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1、线性代数基本定理一、矩阵的运算1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A也可以不等于O2.矩阵不可交换3.常被忽略的矩阵运算规则4.反称矩阵对角线元素全为04.矩阵逆运算的简便运算方法1.特殊矩阵的乘法A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断任何矩阵等价于其标准型3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换4.给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：，证明(A+2I)可逆。把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项

2、与A项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如：如红线所示：左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。求逆：如果均可逆，若，则反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。求转置：块转置，每一块里面的也要转置6.把普通线性组合式写成矩阵形式二、行列式的计算计算一般行列式时需注意：A．代数余子式的正负B．初

3、等变换用等号，行列式的值可能变化1.特殊形状行列式上下三角行列式、反上下三角行列式det(kA)=det(A)det(AB)=det(A)det(B)块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）1.一般行列式的计算原则A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来其中，B点最容易被忽略掉！！！例题：已知abcd=1不用计算每一个行列式值为多少，观察发现此式正好得01.范德蒙德行列式注意：范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到下或从左到右升幂不同底数来说，右边减左边或下边

4、减上边，这就是i和j的用处1.几种n阶行列式的巧算办法：见笔记本2.克拉默法则：解决伴随矩阵问题的好方法。还要了解行列式按某行展开，如果对被展开行的每列来说，代数余子式乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为0，这样，线性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示）3.矩阵的秩：可以回到定义，秩为r，就说明至少存在一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式全为0三、空间解析几何1.易忽略的基础知识点的坐标的实质：过一个点向几个轴做垂面空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，

5、可以为负。方向余弦：与坐标轴正方向的夹角的余弦投影：外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量混合积的记法，向量共面，混合积为0，abc，bca，cab这三种顺序结果都相同2．平面的方程点法式，一般式：xyz谁系数为0，就与哪个轴平行，D=0平面过原点,如果平面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴截距式点法式和点向式化为截距式，算截距即可三点式一般不用3.直线的方程点向式m,n,p哪个为0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的轴垂直（在与那个轴平行的平面上）。直线的方向余

6、弦就是方向向量的方向余弦。参数式用一个参数就可以确定x,y,z三个变量。用在求直线与平面交点中比较简单,其中(m,n,p)就是方向向量！还可以求过某一点与另外一条已知直线垂直的直线一般式用两个平面相交的方程组表示方程的转化参数式=>点向式t的系数就是方向向量，加的常数就是定点。点向式=>一般式目的是方便表示过这条直线的平面束。三个等号，两两联立，变成两个方程。加括号变为方程组即可参数式=>一般式参数式先变为点向式，再变为一般式点向式=>参数式令三个比例=t一般式=>点向式方法1：任取一满足方程的点，为定点。平面法向量叉乘为直线方向向量。方法2：任取两点，直接求方程一般式=

7、>参数式方法1：一般式先变为点向式，再变为参数式方法2（较简单）：对平面方程初等行变换，令自由变量=t4.位置关系和向量关系的转化平面与平面的位置关系平面与平面平行（包括重合）——如果重合，有：平面与平面相交——平面与平面垂直——法向量垂直平面与平面的夹角余弦（锐二面角）——法向量余弦的绝对值平面束——过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不包括参数后面的平面本身）点到平面的距离平面与直线的位置关系直线与平面的夹角——直线平面法向量夹角余弦值的绝对值就是直线与平面夹角的正弦值直线与平面相交，平行，过平面——直线的方向向量与平