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《线性代数的基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、線性代數的基本定理林琦焜前言:在此向量都是以行向量來表示。其中A是一個m×n矩陣最近在AmericanMathematicalMonthly閱讀到GilbertStrang探討線性代數之文章,讀後收穫良多,尤其幾個圖形a11...a1nA=a21...a2n實在有教學上之價值。在感動之餘想想何不am1...amn動手,以GilbertStrang之文章為藍本,同aij∈R,1≤i≤m,1≤j≤n(2)時把自己讀書與教學之心得將之整理後,以與中文之讀者一起分享。此文主要探討的是FredholmAltena-首先我們將矩陣A視為向量。(實際上tive定理,要提醒的
2、是雖然我們僅在有限的矩陣是向量的推廣)空間上討論,但實際上都可推廣至無限維空間,而這就是泛函分析(functionalanaly-A=[A1,...,An](3)sis)所研究的主題之一。a1ja2jAj=..1≤j≤n(4)矩陣的本質:.要瞭解線性代數,最直接且最有動機莫amj若於從求聯立方程組的解開始。有了上述之結果,我們可將(1)式的左邊表為向量的線性組合:−→−→nmAx=bA:R→R(1)其中a11...a1nx1−→x=(x,x···x)T∈Rn...12n−→a21...a2n−→TmAx=....
3、....b=(b1,b2···bm)∈R....am1...amnxn12數學傳播十九卷二期民84年6月x1乘法有另一個角度的體會,給定任一矩陣...=[A1,...,An]B=[B1,B2,···Bk]xn−→=x1A1+···+xnAn=b(5)Bi為矩陣B之第i行向量,因此矩陣A與矩陣B之相乘可表為x1AB=A[B1,B2,···Bk]..註(A):如果我們將向量.視為矩=[AB1,AB2,···,ABk]xn陣的話,則(5)式同時也告訴我們,矩陣乘在右手邊其運算為行運算。(同理乘在左手邊則即矩陣AB的第i行向量(AB
4、)i為矩陣A為列運算。)而其法則為乘矩陣B的第i行向量ABi。由(5)式知ABi要有意義其先決條件為Bi為一n維行x1×(第一行)+x2×(第二行)+···向量,即矩陣B為一n×k矩陣+xn×(第n行)(6)B=[B1,B2,···,Bk]b11...b1k....註(B):由(5)式我們也可略窺“行=..空間”(columnspace)的雛形,由此角度bn1...bnk−→−→而言,求Ax=b的解,相當於求所有−→同理,矩陣BC要有意義為C為一k×l矩A1···An的線性組合正好等於b,即求陣。(x···x)∈Rn使得1nc11...b1l−→....
5、x1A1+···+xnAn=bC=[C1,···,Cl]=..ck1...ckl註(C):(5)式可幫助我們明白矩陣的我們現在考慮矩陣之結合律,由(5)式知結合律,一般在線性代數的課本是將矩陣視為線性變換(lineartransformation),因此A(BCi)=A(c1iB1+···+ckiBk)矩陣的結合律可視為是函數之合成的結合律,=c1iAB1+···+ckiABkc1i但這種作法,對學生而言,幫助並不大。在這..=[AB1,···,ABk].裡我們希望藉由(5)及一些簡單的基本運算cki來証明矩陣的結合律=[AB1,···,ABk]Ci
6、A(BC)=(AB)C。−→再次利用(5)式可得矩陣之結合律由(5)式知向量Ax為矩陣A之行向量的線性組合,利用這個概念,我們可以對矩陣的A(BC)=A(B[C1,···,Cl])線性代數的基本定理3=A[BC1,···,BCl]兩邊同時取行列式得=[A(BC1),···,A(BCl)]i−→i−→(detA)(det[I←−x])=det[A←−b]=[(AB)C1,···,(AB)Cl]=(AB)[C1,···,Cl]由Laplace展開式或行列式的性質知=(AB)Cdet[I←−i−→x]=x,故ii−→det[A←−b]註(D):(5)式告訴我們的還不僅如此。xi=d
7、etA在中學階段就熟知Cramer公式,亦可由此這就是Cramer公式。式再加點行列式的性質而得,當然還是從解聯立方程組開始基本定理:−→−→Ax=b−→−→習慣上,我們將行空間(columnspace)此時A為一n×n矩陣向量,x,b則視為i−→記為R(A),明顯地R(A)⊆Rm。談了n×1矩陣,為著簡便用符號[A←−b]表示行向量,行空間自然要提它的孿生兄弟列向一n×n矩陣,其中矩陣A=[A1···An]−→量(rowvecter),列空間(rowspace),記之第i行向量為向量b所取代,即為R(
