资源描述：
《吉林大学大一高数第二章第二节 函数的极限课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章二、自变量趋于定点时函数的极限第二节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:机动目录上页下页返回结束函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义1.设函数上有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线机动目录上页下页返回结束A为函数直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，机动目录上页下页返回结束例1.证明证:取因此注:就有故要使即机动目录上页下页返回结束二、自变量趋于定点时函数的极限1.时函数极限的定义引例.测量正
2、方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度,要求确定直接观测值精度:机动目录上页下页返回结束定义2.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明:机动目录上页下页返回结束例2.证明证:故对任意的当时,因此总有机动目录上页下页返回结束例3.证明证:要使取则当时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束例3.证明证:故取当时,必有因此机动目录上页下页返回结束例4.证明:当证:要使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束2.左极限与
3、右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理1.机动目录上页下页返回结束例5.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理1.因为显然所以不存在.机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有定理.若机动目录上页下页返回结束x=3时分母为0例6.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例7.若机动目录上页下页返回结束例8.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例9.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如P46例9)机动目录上页下页返回结束
4、例10求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的定理左右极限等价定理思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则作业P51.4;5.Th1是否一定有第四节目录上页下页返回结束？推论:若且则利用保号性定理证明.说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:令机动目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束例8.
5、求解:方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动目录上页下页返回结束思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束例7.求解:令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束4.试
6、确定常数a使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此作业P51（A）6（2），（3），（4），（8）.7（B）5第六节目录上页下页返回结束备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故机动目录上页下页返回结束2.保号性定理定理1.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)机动目录上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有推论:(P37推论)分析:机动目录上页下页返回结束定理2.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所
7、以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故机动目录上页下页返回结束为无穷小(详见P44)定理5.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束
