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《单调性、凹凸性、极值、图像(讨论课)课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、函数单调性的判定法机动目录上页下页返回结束二、曲线的凹凸与拐点函数的性质与函数图像曲线的凹凸性第三章三、函数的极值、最值问题四、函数图像的描绘讨论课问题：（1）：请说出函数单调性的判别定理（2）：什么是拐点、凹函数、凸函数？如何判断凹凸性（3）：请说明求闭区间连续函数极值、最值的步骤。（4）：请叙述渐近线的种类及求法。（5）：一般作图需要考虑哪些方面？试举例。问题一：函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,机动目录上页下页返回结
2、束证毕说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.问题二:曲线的凹凸与拐点机动目录上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数证毕例1.判断曲线的
3、凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束问题三（1）：函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性
4、质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理3(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)机动目录上页下页返回结束定理4(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束定理5(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动目录上页下页返回结束证:利用在点的泰勒公
5、式,可得例如,所以不是极值点.极值的判别法(定理1~定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理3~定理5的条件.机动目录上页下页返回结束问题三（2）：最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录
6、上页下页返回结束无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,问题四：曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或“纵坐标差”机动目录上页下页返回结束1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例2.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束2.斜渐近线斜渐近线若机动目录上页下页返回结束例3.求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束问题五：函数图形的描绘步骤:1.确定函数
7、的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例4.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)极大拐点极小4)机动目录上页下页返回结束
