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1、第四节一、函数单调性的判定法四、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性、凹凸性与极值利用导数研究函数第三章二、函数的极值及其求法三、最大值与最小值问题一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,例2.证明时,不等式证:令从而因此且证证明*证明令则从而即定义1:在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)
2、则称为的极小值点,称为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.二、函数的极值及其求法注意:为极大值点为极小值点不是极值点对常见函数,函数极值的可能点集合为：｛驻点，不可导点｝1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放暂停例3.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2
3、)类似可证.例4.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.三、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)例5.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例6.设某工厂生产某产品x
4、千件的成本是解:售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上即边际收入＝边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大定义2.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.四、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.拐点定理4.(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函
5、数在区间I上有二阶导数证毕例7.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例8.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸对应例9.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸作业第三节P84页练习题3.11,2,3.P87-88页练习题3.21,2,3.P92-93页练习题3.33.P103-104页综合习题三
6、4,6,9.内容小结1.可导函数单调性判别（条件是充要的）在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点内容小结3.连续函数的极值(1)极值可疑点:导数为0或导数不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值定理3注：当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.4.连续函数的最值试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又1.求出该极值,并指出它是极大即2.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻
7、域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A证明:当时,有证明:令,则是凸函数即3.(自证)第五节
