单调性、凹凸性与极值_lhy课件.ppt

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1、第三章中值定理导数应用第四节上页下页返回结束函数单调性的判定曲线的凹凸性与拐点Music函数的单调性、凹凸性与极值单调递减上页下页返回结束xy0abxy0ab函数的单调性的符号密切相关.单调递增与导函数一、函数的单调性定理1.设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,若在(a,b)则f(x)在[a,b]上(严格)单调递(递减).证:任取则由拉格朗日中值定理得故表明f(x)在[a,b]上单调递增.上页下页返回结束内设同理可证单调递减情形.注1.将定理中的闭区间换成其他区间,结论不变.增设在(a,b)内例如,上单调递增,3

2、.若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内除单独点外都可导,且在可导点满足则f(x)在[a,b]上(递减).(严格)单调递增2.若在开区间（a，b）（或且内仅有有限个零点，则结论仍成立.在且只在处发生.但导数如当时，不存在当时，在上单调递增.上页下页返回结束例1.(1)确定函数的单调性.(2)证明:x>0时,解:(1)(2)x>0时即:∴x>0时,定义上页下页返回结束例2.证明证明:设显然,f(x)在区间上连续,f(x)在上单调减少,f(x)在上单调增加,x>0时即:x<0时即:不存在的点x);上页下页返回结束讨论(或确

3、定)函数单调性的方法:2.求出的点以及3.用上述点x划分已知区间,在各小区间上逐一考察函数的单调性.1.确定f(x)的定义域;单调区间所有可能的分界点（包括O如为单调区间的分界点，函数在处不可导.的单调区间.解:时，当故f(x)的单调增加区间为单调减少区间为上页下页返回结束f(x)的定义域为列表讨论:例3.确定函数的单调性.解:时,当故f(x)在区间上单调减少.上页下页返回结束f(x)的定义域为不存在.例4.确定函数当列表讨论:上单调增加;在区间时,上页下页返回结束例5.设f(x)在[0,1]上可导,且0

4、在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.证明:存在性:作辅助函数:F(x)=f(x)－xF(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)－1<0,在(0,1)内至少有一个ξ,使得F(ξ)=f(ξ)－ξ=0.f(ξ)=ξ即:唯一性:设F(x)=0在(0,1)内的正根不止一个,x1,x2是它的两个正根:由Rolle定理,矛盾!F(x1)=F(x2)=0,在x1,x2之间存在ξ,使得证法一[反证]唯一性:证法二故F(x)严格单调减少,方程F(x)=0最多有一个实根.上页下页返回结束所以,在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)

5、=x.即最多有一个x,使得f(x)=x,F(x)=f(x)－x上页下页返回结束AB连结A,B两点的曲线弧的弯曲方向应如何表示?xy0xy0弦总在曲线弧的上方凹弧弦总在曲线弧的下方凸弧二、曲线的凹凸性定义设f(x)在区间I上连续,(1)若恒有则称f(x)为凹函数，称它的图形是凹弧;(2)若恒有则称f(x)上页下页返回结束1.凹弧、凸弧的定义与判定为凸函数，称它的图形是凸弧.如图：在（a，b）上是凹的在（a，b）上单调递增(1)若在(a,b)内则f(x)在[a,b]上是凹的;则f(x)在[a,b]上是凸的.证明思路：结合定义，运

6、用Lagrange中值公式（略）上页下页返回结束设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导.(2)若在(a,b)内定理2.(凹凸性判定定理)上页下页返回结束例6.的凹凸性.解:上函数是凹的，在上函数是凸的.在连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.2.拐点(0,0)点是曲线的拐点，上页下页返回结束注曲线的拐点要用数组来表示,不能写成拐点的确定:设y=f(x)或不存在是曲线的拐点;在两侧异号,则若两侧不改变符号,不是拐点.则若在使的点是可能的拐点.如在处如在处的凹凸区间与拐点.解:令得列表讨论曲线在和上是凹的,是

7、凸的,点都是拐点.上页下页返回结束例7.确定曲线和f(x)的定义域为例8.利用函数图形的凹凸性证明证明:当因此,在(0,+∞)上,是凹函数,由凹函数的定义,对总有即上页下页返回结束令f(t)=时,内容小结1.可导函数单调性判别f(x)在I上单调递增f(x)在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上凹弧与凸弧的分界点上页下页返回结束思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在上页下页返回结束有位于同一直线上的三个拐点.2.求证曲线证上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.上页

8、下页返回结束ABC定义总有(1)则称x0为f(x)的极大值点,称f(x0)为函数的极大值;(2)则称x0为f(x)的极小值点,称f(x0)为函数的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.上页下页返回结束若存在使对任意的极大值与极小值统称为极值.极值:极值点处的函数值.1.极值的概念三、函数