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1、3.4极值与凹凸性3.4.1函数的极值定义3.1的一个极大值(或极小值),如果在x0的函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点x0称为极值点.设在x0附近有定义,某个空心邻域内,恒有注意:极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉及函数在一点附近的性质.定理3.4(极值的必要条件)注意:可导函数的极值点必定是驻点,例如,但驻点不一定是极值点.则必有设在点处可导,且在处取得极值,的驻点.另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.例如,设函数在x0处连续,定理3.5(极值的第一充分条件)在x0的某个空心邻域内可导,则(1)如果有而有则在处取得极大值;(2)如果有而有则在处取
2、得极小值;(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.是极值点情形不是极值点情形求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.(1)求出的所有可能的极值点,即的不可导的点和的点;(2)对(1)中求得的每个点,根据在其左、右是否变号,确定该点是否为极值点.如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;例1求函数的极值.解极大值极小值函数在其定义域内连续.导数不存在;不存在无极值不存在定理3.6(极值的第二充分条件)注意:则设在处具有二阶导数,且(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.此时仍需用定理3.5.极大值极小值解定义域为例2
3、求函数的极值.图形上任意弧段位于所张弦的上方3.4.2曲线的凹凸性及拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的下方恒有设在区间I上连续,定义3.2如果恒有如果定理3.7解定义3.3连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点.例3判断曲线的凹凸性.定理3.8(拐点的第一充分条件)设函数在x0的某邻域内连续，在空心邻域内存在,(1)(2)定理3.9(拐点的第二充分条件)曲线的拐点.解凹的凸的凹的拐点不是拐点例4求曲线的拐点及凹凸区间.函数在其定义域内连续.不存在例5证明证所以曲线在上是严格向下凸的.有即性质有则其中证例6证明当设则即1.铅直渐近线(垂直于x轴的
4、渐近线)3.4.3函数图形的描绘一条渐近线.移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离趋向于零,如果例如有两条铅直渐近线:2.水平渐近线(平行于x轴的渐近线)例如有两条水平渐近线:如果3.斜渐近线斜渐近线求法如果或若且注意:解如果定义域为例7求的渐近线.不存在;不存在;可以断定不存在斜渐近线.所以,是曲线的铅直渐近线.所以,是曲线的一条斜渐近线.(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.和拐点.(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.确定曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下:(
5、3)求出函数的单调性和极值,例8描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:不存在拐点极小值间断点无斜渐近线.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:铅直渐近线作图拐点极小值补充点不存在拐点极小值间断点水平渐近线:垂直渐近线:
