Chapter054-6函数极值单调性凹凸性作图ppt课件.ppt

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1、Chap5―4函数的单调性和极值定理1设fC[a,b]D(a,b),则f(x)在[a,b]上单调增加x(a,b)有f'(x)0.f'(x)>0是f(x)严格单调增加的充分不必要条件!如f(x)=x3在(–,+)上严格单调增加,但f'(0)=0.问题f(x)严格单调的充要条件是什么?一、函数的单调性试一试单调减少的充要条件！定理2设fC[a,b]D(a,b),则f(x)在[a,b]上严格单调增加x(a,b),f(x)0,且在(a,b)任意子区间上,f'(x)不恒为0.若f(x

2、)0,且仅有限个点处f(x)=0,则f(x)严格单调增加.函数单调区间求法1)求函数的驻点和不可导点;2)用上述点把函数定义域分成若干子区间;3)在子区间上讨论导函数的符号,确定函数单调性.例1求函数f(x)=x2/3(x–5)的单调区间.例2证明Jordan不等式例3已知当x>0时有，证明不等式例4设ea

3、0),且1)若在x0左侧,f'(x)<0,在x0右侧,f'(x)>0,则f(x0)为极小值;2)若在x0左侧,f'(x)>0,在x0右侧,f'(x)<0,则f(x0)为极大值;3)若在x0两侧f'(x)不变号,则f(x0)不是极值.问题若f在x0取严格极大值，是否必>0,使f在(x0,x0)递增，在(x0,x0+)递减？反例考察函数在x0=0的情形！定理(第II判别法)设f(x)在x0二阶可导,且f'(x0)=0,则f"(x0)<0时,f(x0)为极大值;f"(x0)>0时,f(x0)为极小值.

4、注意前提条件f(x0)=0,即x0是驻点！当f(x0)=0时,判别法失效！例5求函数f(x)=xln2x的极值.x(0,1/e2)1/e2(1/e2,1)1(1,+)f'(x)+0–0+f(x)单调增4/e2单调减0单调增例6求函数f(x)=x2/3(x–5)的极值.x(–,0)0(0,2)2(2,+)f'(x)+/–0+f(x)单调增0单调减单调增例7求的极值.定理(第III判别法)设f(x)在x0处n阶可导,且f(x0)=f(x0)=…=f(n1)(x0)=0,f(n)(x0)0,

5、则(1)当n为奇数时，f(x0)非极值；(2)当n为偶数时，f(x0)是极值,且为2.函数最值求法最值点和极值点关系:区间内部的最值点一定是极值点.因此最值点一定在极值点和区间端点中,从而一定在驻点,不可导点和区间端点中！原则若fC[a,b]，则只需求出f在上述三类点处的函数值,再比较它们的大小就可得到f的最大值和最小值！若可导函数f有唯一驻点x0,且f(x0)为严格极大值,则f(x0)为最大值.例8求f(x)=x2ex在[1,3]上的最值.例9证明不等式：例10作一个有盖的圆柱形容器,若体积V为定值

6、,问底圆半径R与高H成何比例时,容器的表面积最小(即用料最省)？若已知最值点存在于内部,则唯一驻点x0为所求最值点.Chap5―5凸函数一、函数的凸性定义设函数f在区间I上定义,若x1,x2I及(0,1)有则称f(x)是I上的(下)凸函数.试一试“上凸、严格凸、严格上凸函数”的定义！几何意义xyx1x2x1+(1)x2f(x1+(1)x2)f(x1)f(x2)f(x1)+(1)f(x2)Oy=f(x)曲线(函数图形)的凸性依函数的凸性相应定义！二、等价定义定理设函数f在区间I上

7、定义,则下面3条等价：(i)f为I上的凸函数；(ii)x1

8、fCU(x0),且在x0两侧有不同的严格凸性,则称x0为函数f(x)的拐点,相应点(x0,f(x0))称为曲线f(x)的拐点.命题函数拐点一定在二阶导数为0和二阶导数不存在的点中.例1讨论函数f(x)=

9、x

10、ex的凸性和拐点.例2讨论函数f(x)=x2/3(x–5)的凸性和拐点.x(–,–1)–1(–1,0)0(0,+)f(x)–0+/+f(x)上凸拐点下凸0下凸例3(Young不等式)设a,b,p,q>0,(历年试