函数与基本初等函数专题.doc

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1、年级：辅导科目：数学课时数：3课题函数与基本初等函数教学目的教学容函数的奇偶性（一）高考目标考纲解读1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．考向预测1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．2．常与函数的概念、图像、单调性、对称性等综合考查．（二）课前自主预习知识梳理1．函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(x)满足图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f(x)满足当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有（三）基础自测1．下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是(　　)A．y＝－x3，x∈R　　　　　　B

2、．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝x，x∈R[答案]　A[解析]　y＝sinx在R上不单调，y＝x不是奇函数，y＝x为增函数，故B、C、D均错．2．(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是(　　)①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．A．1B．2C．3D．4[答案]　A[解析]　①错误，如函数f(x)＝是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x

3、)＝0，x∈(－a，a)．3．(2011·宝山模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则(　　)A．a＝，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝0[答案]　A[解析]　由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0.又定义域为[a－1,2a]，∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝.4．(2009·理)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.[答案]　[解析]　考查函数的奇偶性．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即＋a＝－－a，∴a＝.（四）典型例题1.命题方向：奇偶性的判定[例1]　判断下列函

4、数的奇偶性(1)f(x)＝(x－1)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝＋；(5)f(x)＝x2－

5、x－a

6、＋2.[解析]　(1)由≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f(x)＝＝－，∵f(－x)＝－＝＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)当x>0时，－x<0则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．另解：

7、1°画函数f(x)＝的图像．图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数．2°f(x)还可写成f(x)＝x2－

8、x

9、，故为偶函数．(4)由得x＝－或x＝∴函数f(x)的定义域为{－，}又∵对任意的x∈{－，}，f(x)＝0.∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)(5)函数f(x)的定义域为R当a＝0时　f(x)＝f(－x)∴f(x)是偶函数当a≠0时　f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2

10、a

11、＋2f(a)≠f(－a)　且f(a)＋f(－a)＝2(a2－

12、a

13、＋2)＝2(

14、a

15、－)2＋≠0∴f(x)是非奇非偶函数．[点评]　第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则

16、该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的围取相应的函数表达式或利用图像判断．跟踪练习1判断函数f(x)＝的奇偶性．[解析]　由题意知解得－4≤x<0或0

17、恒成立，求k的取值围．[解析]　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即＝0，∴b＝1.∴f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，∴a＝2.(2)解法1：由(1)知f(x)＝＝－＋.易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.解法2：由(1)知f(