立体几何中的向量方法-空间角的计算.ppt

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1、3.4立体几何中的向量方法空间“角”问题空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。异面直线所成角的范围：思考：结论：一、线线角：xzy②向量法质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？ADCBD1C1B1A1E1F1方法小结①几何法已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？例1、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为求AC1和CB1的夹角，ABCA1B1C1分析：求异面直线的夹角解法步骤：1、写出异面直线的方向向量的坐标。2、利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。∴AC1和CB1的夹角为：xyZD所

2、以与所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：练习：斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB二、线面角当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0°斜线与平面所成的角（0°,90°）直线与平面所成的角[0°,90°]异面直线所成的角（0°,90°]最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C

3、1D1OnAB线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角.二、线面角向量法：范围：线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角.例2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为1）求AC1和CB1的夹角，2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值ABCA1B1C12）直线与平面所成的角步骤：1、求出平面的法向量2、求出直线的方向向量3、求以上两个向量的夹角，（锐角）其余角为所求角设平面ABB1B的法向量：所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为练习：的棱长为1.正方体xyz解：设正方体棱长为1，正弦值二面角OBA

4、AB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB表示方法：lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点

5、，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB二面角的计算几何法：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是_______.练习ll三、面面角：二面角的范围：①向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得例4.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：

6、直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角设平面小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角

7、坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）又∵OC⊥面AOS，∴是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角的大小等于OABCSxyz∴二面角B－AS－O的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为5102.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，A

8、C＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解：如图，建立空间直角坐标系