立体几何中的向量方法空间角问题ppt课件.ppt

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1、3.2.3立体几何中的向量方法——空间“角”问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角无棣一中高二数学组复习回顾直线的方向向量平面的法向量设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则(1)a·b＝.a1b1＋a2b2＋a3b3设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为n1、n2.则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔⇔.⑵l1⊥l2⇔⇔.⑶α∥β或α与β重合⇔⇔.⑷α⊥β⇔⇔.⑸l∥α或l⊂α⇔⇔.⑹l⊥α⇔⇔.复习回顾a∥ba＝tba⊥ba·b＝0n1∥n2n1＝tn2n1＝tan1∥an1⊥n2n1·

2、n2＝0n1⊥an1·a＝0引例：求二面角M-BC-D的平面角的正切值；求CN与平面ABCD所成角的正切值；求CN与BD所成角的余弦值；求平面SBC与SDC所成角的正弦值范围：一、线线角：异面直线所成的锐角或直角思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？结论：xzy②向量法ADCBD1C1B1A1E1F1方法小结①传统法：平移例1.如图所示的正方体中，已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？所以与所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：练习：[悟一法]利用向量求异面直线所

3、成的角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．直线与平面所成角的范围：结论：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？AOB例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O①向量法②传统法N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，练习：N

4、又在长方体中，练习：[悟一法]利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB三、面面角：ll三、面面角：向量法关键：观察二面角的范围①证

5、明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得例3.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角[悟一法]利用法向量求二面角的步骤(1)确定二个平面的法向量；(2)求两个法向量夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现．练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：

6、⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，⑵OS与面SAB所成角α的正弦值，⑶二面角B－AS－O的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）又∵OC⊥面AOS，∴是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角的大小等于OABCSxyz∴二面角B

7、－AS－O的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510课堂小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围