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1、HXX3.2.3立体几何中的向量方法(三)空间“角度”问题一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(化为向量问题)(进行向量运算)(回到图形)向量的有关知识:两向量数量积的定义:a·b=
2、a
3、·
4、b
5、·cos〈a,b〉两向量夹角公式:cos〈a,b〉=直线的方向向量:与直线平行的非零向量平面的法向量:与平面垂直的向量如
6、图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.BACD例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考:(1)本题中如果夹角可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以计算出AB的长吗?ABCD图3分析:∴可算出AB的长。夹角后面讲(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各
7、棱之间夹角的余弦值吗?分析:如图,设以顶点为端点的对角线长为,三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCD空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线所成的角为,则例2解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,设则:所以:所以与所成角的余弦值为①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。如图(2),设二面角的大小为其中ABDCLBA2、二面角注意法向量的方向:同进同出,二面角等于法向量夹角的补角;一进一出,二面角等于法向量夹角L将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图,向量,则二面角的大
8、小=〈〉2、二面角若二面角的大小为,则②法向量法例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解:如图,化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算于是,得设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD图3所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例2正三棱柱中,D是AC的中点,当时,求二面角的余弦值。CADBC1B1A1解法一:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a,侧棱长为b,则C(
9、0,0,0)故则可设=1,,则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F,则〈〉即为二面角的大小在中,即E分有向线段的比为由于且,所以在中,同理可求∴cos〈〉=∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE解法二:同法一,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中设面的一个法向量为同法一,可求B(0,1,0)∴可取=(1,0,0)为面的法向量∴yxzCADBC1B1A1由得解得所以,可取二面角的大小等于〈〉∴∴cos〈〉=即二面角的余弦值为方向朝面外,方向朝面内,属于“一进一出”的情况,二面角等于法向量夹角ABn2.线面角设n为
10、平面的法向量,直线AB与平面所成的角为,向量与n所成的角为,则n而利用可求,从而再求出2.线面角l设直线l的方向向量为,平面的法向量为,且直线与平面所成的角为(),则1.已知正方体的边长为2,O为AC和BD的交点,M为的中点(1)求证:直线面MAC(2)求二面角的余弦值巩固练习B1A1C1D1DCBAOM
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