立体几何中的向量方法（全）.ppt

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1、3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量lAP１、直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.一、方向向量与法向量2、平面的法向量AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量.oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=

2、1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.XYZ设平面EDB的法向量为练习设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决几何问题3.2.2立体几何中的向量方法——平行关系ml一.平行关系：β例1.用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.已知直线l与m相交,αβｌｍ例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面A

3、BCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG.证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线，立体几何法呢？MN例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法连结AC交BD于点G，再连结GE.ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGA

4、BCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为ABCDPEXYZ解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：解得x＝－２,ｙ＝１三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点.求证:BC1∥面AB1D.练习题O立体几何法呢？例四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，PF=FG=GC.求证：面AEF//面BDG.ABCDPGxyzFE立体几何呢？O3.2.3立体几何中的向量方法——垂直关系二、垂直关系：lmlABCαβ例1四面体ABCD的六条棱长相等

5、,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证1立体几何法MN就是异面直线AB与CD的公垂线，故异面直线AB与CD的距离就是MN.例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.∴MN⊥AB,同理MN⊥CD.证2向量法例1四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB,MN⊥CD.证3如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.xyZxy练习棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：O’C’A’B’OABCEFzxy证明：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.ABCDPE

6、FXYZ证1：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1.ABCDPEFxyz证2：立体几何法A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以xA1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F练习正方体中，E、F分别平面ADE.证明2：立体几何法P,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面

7、C1BD.平面EBD证明2：立体几何法E,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.求证：平面EBDO3.2.4立体几何中的向量方法——夹角问题夹角问题：lmlm1.异面直线所成角2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角2、二面角夹角问题：PP’Al夹角问题：ll2、线面角解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以与所成角的余