复数及其运算.ppt

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1、第一章复数与复变函数1.1复数及其运算1.2复平面上的曲线和区域1.3复变函数1.4复变函数的极限和连续性§1.1复数及其运算一、复数的概念1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。二、复数的表示法1、(复平面上的)点表示------用坐标平面上的点rθ此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。2、(复平面上的)向量表示-----（1）模——的长度，记为，则（2）辐角()——与轴正向的夹角(周期性)辐角主值:注其中主值的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示.

2、3、三角（或极坐标）表示---由得欧拉公式5、代数表示------复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示------将扩充复平面中的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。三、复数的运算1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式3、共轭复数及运算性质zzyxo四、复数的n次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。答疑解惑答：不能，实数能比较大小

3、，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：1、复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？答：有相同之处，但也有不同之处。加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。典型例题例1、判断下列命题是否正确？（1）（2）（3）（×）

4、（∨）（×）例2、求下列复数的模与辐角（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）(4)例3、求满足下列条件的复数z：（1）（3）（2）且例4求方程的根。并将分解因式。解∵，则的其余三个根即为所求得由