复数及其运算

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复数及其运算1．复数域　　形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，　，称为虚单位．两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为　　或　设复数，，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定．因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）．从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1显然，对于任意复数均有，， 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式（三角形两边之和第三边，图1.2）（三角形两边之差第三边，图1.3）与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向．向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件的一个值为的主角或的主幅角，则有注意：当时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有同时我们引进著名的欧拉公式：则可化为与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有因此，公式与说明：两个复数， 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．特别当时可得此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式：4.复数的n次方根给定复数Z，方程的根称为Z的你、次方根，记为，可以推得：几何意义：的n个值是以原点为中心，为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。练习一．选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设i是虚数单位，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（）（A）2（B）1＋i（C）i（D）－i3.复数（是虚数单位）的模等于（）A．B．C．D4.对任意复数，，定义，其中是的共轭复数．对任意复数，，，有如下四个命题：①；②；③；④． 则真命题的个数是（）A．B．C．D．5．若为非零复数，则与的关系是[]（A）（B）（C）（D）不能比较大小6.设为复数，则方程的解是[]（A）（B）（C）（D）二．填空题1.设，，则=__________2.已知，则3.已知，则4.已知,,则5.化简=______________________。三．解答题1．求下列复数的实部与虚部，共轭复数，模与辐角。2．解方程3．求方程的所有根，并求由这些根所对应的点所组成的多边形的面积。