复数及其代数运算

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1、复变函数主讲人:胡晓晓(674067)办公室:7B325huxiaoxiao@wzmc.net1复数是16世纪人们在解代数方程时引入的．1954年，意大利数学物理学家在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题即求方程x(10-x)=40的根,它求出形式的根为因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．2直到十八世纪等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数．复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的三人的工作进行的．3到本世纪，复变函数论是数学的重要

2、分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．4柯西——复变函数论的奠基人之一柯西（Cauchy，1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。A.-L.柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理。用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。柯西最重要和最有首创性的

3、工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题。5黎曼——复变函数论的奠基人之一黎曼，19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼1826年9月17日生于汉诺威的布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利的塞那斯加，终年40岁。1851年，在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文。在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一

4、些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。6魏尔斯特拉斯——复变函数论的奠基人之一魏尔斯特拉斯，K．W．T．(Weierstrass，KarlWilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林．数学．在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数.所确定的隐函数zv=hv(zm+1，…，zn)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定

5、理．魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表的“预备定理”7第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考一、复数的概念二、复数的代数运算8一、复数的概念1.虚数单位:对虚数单位的规定:9虚数单位的特性:……102.复数:111:两个复数相等??2:Z=0思考：两个复数能比较大小吗？说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.反例12二.复数的代数运算1：定义132：复数运算所满

6、足的运算律143：共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例1解15共轭复数的性质:以上各式证明略.16例2解17练习解18练习证19三、小结与思考本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点.20思考题复数为什么不能比较大小？21思考题答案由此可见,在复数中无法定义大小关系.22第1.1.2节复数的几何表示一、复平面1.复数的模和辐角三、小结与思考二、复球面23一、复平面(z平面)1.复平面的定义坐标平面上的点；24二：复数的模和辐角显然下列各式成立1.复数的模(或长度)252627xy

7、02.复数的辐角（Argument）说明282.复数的辐角（Argument）辐角不确定.29xy0辐角主值的定义:2.复数的辐角（Argument）30Xy031练习是不是永远成立；32练习3334例3求Arg(-3-4i)35利用复数的模与辐角,我们给出复数的两个非常重要的表示法361.复数的三角表示法xxy0372:复数的指数表示法38例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为39故三角表示式为指数表示式为40定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证[证毕]41两复数相乘

8、就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为42说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值