复数的表示及其运算

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1、第一节复数及其表示第二节复变函数第一章复数与复变函数第一节复数及其表示一、复数的概念及其表示二、复数的运算三、复球面及无穷大小结与思考一、复数的概念及其表示1.虚数单位:对虚数单位的规定:——“复合”而成的数(3)虚数单位的特性:……2.复数的代数形式的定义:i:虚数单位虚部(Imaginary)记做：Im(z)=y实部（Real）记做：Re(z)=x3.两复数相等:当且仅当它们的实部和虚部分别相等.即则说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,即复数不能比较大小!!!

2、4、复数的几何表示(1)复数的点表示及复平面实轴虚轴显然成立：（2）复数的向量表示（ⅰ）复数的模（ⅱ）复数的辐角(argument)说明辐角不确定.q辐角主值的定义:（ⅲ）复数模的三角不等式几何意义如图：利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成5、复数的三角表示法利用Euler公式6、复数的指数表示法欧拉资料小结本课学习了复数的有关概念、性质、四种表示形式及相关的运算.重点掌握复数的四种表示形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.例1将下列复数化为三角表示式

3、与指数表示式:解参考答案由此可见,在复数中无法定义大小关系.思考题1复数为什么不能比较大小？思考题2参考答案否.它的模为零而辐角不确定.是否任意复数都有辐角?二、复数的运算1）两复数的和差:2）两复数的积:3）两复数的商:说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律保持一致1、复数的代数形式的四则运算实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,2.共轭复数共轭复数的几何性质：共轭复数的运算性质:3、复数的三角形式和指数形式的乘除法从而1）乘法ⅰ）三角形式的乘法两复数相乘就是把模相乘,辐角相加

4、.从几何上看,两复数对应的向量分别为说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.由此可将结论推广到n个复数相乘的情况:ⅱ）指数形式的乘法从而2）除法ⅰ）三角形式的除法ⅱ）指数形式的除法4、复数的幂与方根1）n次幂:棣莫佛公式棣莫佛资料2）棣莫佛公式可以推得:3）n次方根从几何上看,推导过程如下：当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.小结本课学习了复数的三种表示形式对应的运算.熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的实部与虚部时，用代数形式比较方便

5、.对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以三角形式、指数形式来运算比较方便.在运算时学会灵活选用相关形式，力求使得计算最为简便.常用公式：棣莫佛公式n次方根的公式Euler公式例2解故例3解即三、复球面及无穷大球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极N不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极N越近，它所表示的复数的模越大.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而,球面上的北极N就是复数无穷大的几何

6、表示.包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面,或简称复平面.引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应,这样的球面称为复球面.对于复数的无穷远点而言，它的实部，虚部,辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.欧拉资料数学大师——欧拉LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,SwitzerlandDied:18Sept1783inStPetersburg,Russia欧拉一身经

7、历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741－1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉创用a，b，c表示三角形的三条边，用A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用表示求和符号(1755)；提倡用表示圆周率（1736）

8、；1727年用e表示自然对数的底；还用y表示差分等等。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖,曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》，《微分学原理》以及《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书