高代复习题及答案.pdf

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1、研究生高等代数复习题1.2设是数域P上线性空间V的线性变换且,证明（1）的特征值为1或0；1（2）(0)AV();1（3）VV(0)().2.已知是n维欧氏空间的正交变换，证明：的不变子空间W的正交补W也是的不变子空间．123401233.已知复系数矩阵A，00120001（1）求矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）求矩阵A的若当标准形.（15分）2224.已知二次型f(x,x,x)2x3x3x2axx，(a0)12312323222通过某个正交变换可化为标准形fy2y5y，123（1）写出

2、二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，并确定a的值；（2）求出作用的正交变换.101111115.22P为数域，1，2，3，4为向量空间VP的0000101112一组基，求在这组基下的坐标（写成列向量的形式）.346.设A为n阶方阵，nnW1xR

3、0Ax，W2xR

4、(AEx)0n证明A为幂等矩阵，则RWW.127.若设W=f(x)f(1)0,f(x)R[x],n试证：W是R[x]n的子空间，并求出W的一组基及维数.8.设V是一个n维欧氏空间，,,,为V中的

5、正交向量组，令12mW(,)0,V,i1,2,,mi（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：WL,,,.12m310011009.试求矩阵A的特征多项式、最小多项式.3053413110.在线性空间nP中定义变换：(xx,,,x)(0,x,,x)12nn2（1）证明：n是P的线性变换.n1（2）求值域()P及核(0)的基和维数.nn2211.证明二次型fx(1,,xn)nxi(xi)(n2)是半正定的.ii1112.求的值，使2222fxx(,,x,x)(xxx)

6、2xx2xx2xxx12341231223134是正定二次型.（12分）11113.设A333（1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形.2222111121114.设R4的线性变换在标准基下的矩阵为A，11211112（1）求的特征值和特征向量，（2）求4R的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵.15.设,,,是四维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为123410211213A12552212（1）求线性变换的秩，（2）求线

7、性变换核与值域.2216.求正交变换使二次型2x4xxx4xx化为标准形，并判定该二次型是否正定.11222317.设ee,,,e是5维的欧几里得空间R5的一组标准正交基，125VL1(1,2,3)，其中ee,eee,4e5ee，求V的一组标准正交基.123212431251ai,j18.设Aa()ij是nn矩阵，其中aij1,ij（1）求detA的值；（2）设WXAX0，求W的维数及W的一组基.3319.设是线性空间R上的线性变换，满足(,,)xyzR,()(xyy,zz,x)，求在基(0

8、,1,1),(1,0,1),(1,1,0)下的矩阵.20.设是n维线性空间V上的线性变换，,,,是V的一组基.12n如果是单射，则12,,,n也是一组基.21.已知二次型fxx(,,x)2xx2xx2xx，1）写出二次型f的矩阵A；1231213232）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.31122.求方阵A131的不变因子、初等因子和若当标准形.022(,)23.设V是n维欧氏空间，n3,给定非零向量V，令:VV:2(,)证明：（1）是正交变换；（2）如果,,

9、,,是正交基，则存在不全为零实数123nkk,,k使得kkk是V上的恒等变换.12n1212nn24.V,V是xxx0和xx0,i1,2,,n1的解空间,1212nii1n则PVV.1225.设和是线性空间Px[]中依据如下方式定义的两个线性变换：(())fxf()x，(())fxxfx()，求.26.设欧氏空间中有,,,,，0．WL(,,,)，12n112nWL(,,,,)，证明：如果(,