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《工科54线代复习题三及解答.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、武汉大学数学与统计学院2009－2010第一学期《线性代数B》复习题三学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、（10分）设A是三阶实对称矩阵，对应的二次型的正负惯性指数均为1，满足EAEA+=-=0，计算2I+3A.3TT−1T二、（10分）设n阶向量α=(x，0，?，0，x)，矩阵A=I−αα,且A=I+xαα，求实数x.nn⎛⎞101⎜⎟三、（10分）设A=020，且RA()2=，满足，求a和.⎜⎟⎜⎟⎝⎠16a四、（15分）已知方程组AX=b，其中⎛⎞22−−λ2
2、⎛⎞1⎜⎟⎜⎟A=−25λ−4,b=2,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−−245λ⎜⎟⎝⎠−−1λ就方程组有唯一解、无解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型222f(,,)xxx=++−xxx2xx−2xx−2xx,123123122331(1).求出二次型f的矩阵A的全部特征值;−1(2).求可逆矩阵P，使PAP成为对角阵;m(3).计算A(m是正整数).3六（20分）对线性空间R中的向量组A：α,,αα和B：β,,ββ,讨论下面的问题：1231233(1).向量组B是否能成为R中的
3、基？能否用A线性表示B？如果可以，试求出由α,,αα到123β,,ββ的过渡矩阵P,其中123⎛⎞1⎛⎞1⎛⎞1⎛⎞1⎛⎞1⎛⎞−1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟α=0α=1α=1；β=1β=1β=1，1⎜⎟2⎜⎟3⎜⎟1⎜⎟2⎜⎟3⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠0⎝⎠0⎝⎠1⎝⎠a⎝⎠2−a⎝⎠0且a为实数.(2).若β=+−=−kkk(2αααβ2),(2αααβααα+2),(=−−22),k是非零实数，112321233123（a）给出向量组β,,ββ线性无关的一个充要条件，并证明之；123（b）给出矩阵(β,,ββ)
4、为正交阵的一个充要条件，并证明之.123七（20分）T1.当为奇数且AA=I及时,证明：I−A=0.；m2.当m为给定任意正整数且(A+I)=O时,证明：A可逆.武汉大学数学与统计学院2009－2010第一学期《线性代数B》复习三简答一、－10;二、－1.三、解：由初等变换求得a＝1，（记I=E，下同），由A−E≠0，因此可逆，且四、解：经计算,因此方程组有唯一解。时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，即时无解。时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，所以时有无穷多解。等价方程组为:令，得通解为：五、解：1)二次型的矩阵
5、为A＝;
6、E-A
7、＝=(+1)(－2)所以A的全部特征值为：＝－1,＝＝2对=—1,解(－E－A)X＝0得基础解系为＝(1,1,1)；对＝＝2,解(2E—A)X＝0得基础解系为＝(—1,1,0),＝(—1,0,1)。2).令P＝(,,)ααα＝，即为所求可逆阵，此时AP＝＝.123m(1)−mm−1mmm3)APP=Λ=2(=−1)4.m2六、解：解：设A=(,,)ααα,B=(,,)βββ,123123⎛⎞111⎛⎞111－⎜⎟⎜⎟31）A=011，B=111，易知a≠1时,β,,ββ能成为R中的基.⎜⎟⎜⎟123⎜⎟⎜
8、⎟⎝⎠001⎝⎠aa20−−1−1即有A=BQ,且Q≠0,令B＝AQAPPQ==()，故能用A线性表示B.由初等行变换⎛⎞110－⎛⎞00−2−1⎜⎟−1⎜⎟求得A＝011－，则所求过渡矩阵为PAB==111−−a+a.⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠001⎝⎠aa20−⎛⎞221⎜⎟32)由题设BA＝C，其中C=k2－－12，且Ck=27≠0.⎜⎟⎜⎟⎝⎠－－122如果A≠0，即α,,αα线性无关，则有BAA＝CC=≠0，得β,,ββ线性无关；123123反之如果β,,ββ线性无关，则由ABC0=≠，得到A≠0.123可见,α,,α
9、α线性无关是β,,ββ线性无关的一个充分必要条件.123123Τ如果A=(,,)ααα是正交阵,即AAE=,123⎛⎞221221−⎛⎞ΤΤΤΤ22⎜⎟⎜⎟1B则BBCAACCCk===−2122129−−=kE,可见k=±时.是⎜⎟⎜⎟3⎜⎟⎝⎠122122−−−⎜⎟⎝⎠−正交阵.ΤΤΤ2ΤΤ11反之B是正交阵时,BBA==CCAk9AAE=,即AA=E,可见k=±时,A是29k31正交阵.综上,B为正交阵的一个充要条件是k=±且A为正交阵.3七、1、，所以.mmm−−12m2、由()A+EAk=+Ak+A+⋅⋅⋅+kA
10、+E=o，其中ki(1=⋅,2,⋅⋅−m1.)均为12m−1immm−−−123组合系数.得AA(+kA+kA+⋅⋅⋅+kE)=−E≠0,从而A≠0.即可逆.12m−1(另证:设为A的任意一个特征值，X为对应的特征向量，则AX=X，注意EX=X,两式相加(A+E)X=(+1)X,两边左乘矩阵A+E，得(
