线代基本复习题

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1、.2010年度第二学期《线性代数》期末考试安排预计考试时间：2011年5月7日考场班级课室容量期末答疑安排答疑时间：2011.04.27答疑地点:平时上课的课若干公式

2、A*

3、=

4、A

5、n-1,A*A=

6、A

7、I，

8、AT

9、=

10、A

11、，

12、lA

13、=ln

14、A

15、，j(A)的特征值j(l)基本问题lCh1计算行列式,求逆矩阵lCh2判断线性相关性,求秩,求最大无关组lCh2解线性方程组(齐次的和非齐次的)lCh3求矩阵（方阵）特征值和特征向量lCh3矩阵的对角化lCh4向量组的正交化lCh4二次型的正交标准化lCh4二

16、次型正定性的判断......Ch1计算行列式1.12（P35）计算下列行列式(2)一、求逆矩阵1.7（P34）利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:(1)二、Ch2判断线性相关性2.1（P63）讨论下列向量组的线性相关性(3)......一、Ch2求秩,求最大无关组2.2（P63）求下列矩阵的秩(3)补充:最大无关组有二、Ch2解线性方程组(齐次的)2.3求解下列齐次线性方程组(1);(1)对方程组的系数矩阵作行初等变换得简化行阶梯形(Reducedrowechelonform,RREF).对应的同解方程

17、组为,方程组的解为.三、Ch2解线性方程组(非齐次的)2.5求下列非齐次线性方程组的通解(1)对方程组的增广矩阵作行初等变换,将之化为简化行阶梯形......立刻得到方程组的解一、Ch3求特征值和特征向量3.1（P80）求下列矩阵的特征值和特征向量(3)(3)解特征方程得特征值.对于特征值,解齐次线性方程组.其系数矩阵,可见特征向量为.对于特征值,.......可见特征向量为(不全为0).一、Ch3矩阵的对角化3.10将下列矩阵对角化,并求,使(为对角阵)(1)解特征方程得特征值.对于,,得特征向量.

18、选.对于,,得特征向量(k2,k3不全为0).选..令,则有.二、Ch4向量组的正交化4.5（P107）设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.正交化:......单位化:一、Ch4二次型的正交标准化4.20（P108）用正交变换化下列二次型为标准形(2)二次型的矩阵为.解特征方程,得的特征值,,.对于特征值,,取特征向量.对于特征值,.取特征向量.对于特征值,.取特征向量.是正交的.令......,则是正交的.作正交变换,则给出的二次型化为标准形.一、Ch4二次型正定性的判断4.23判别下列二次

19、型的正定性:(1)(2)(1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为.故二次型是负定的.(2)二次型的矩阵的各阶主子式依次为.故二次型是正定的.若干联系向量组构成矩阵线性组合向量能由向量组线性表示Û有解Û向量组线性相关Û有非零解Û(=向量个数=未知数个数)基础解系含个解向量.......部分定理定理2.1　若线性无关,而线性相关.则可以由线性表示.定理2.2　()线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理2.3线性相关的向量组添加向量后仍线性相关；线性无关的向量组的子向量组必线性无关；线性无

20、关的向量组中的每个向量扩大同样的维数，得到的新向量组仍然线性无关。定理2.4　m个行向量线性相关的充要条件是定理2.5　矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，但任意r+１个行向量（如果存在）都线性相关。定理2.8设有向量组T，如果(1)在T中有r个向量线性无关。(2)T中任意一个向量都可以由向量组线性表示。则是向量组T的一个最大无关组。引理2.1设向量组可由向量组线性表示.如果,则线性相关.定理2.9　齐次线性方程组（2.11），当其系数矩阵的秩时，只有唯一的零解；当时，有无穷多个解。

21、定理2.11　非齐次线性方程组（2.17）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。定理2.12　设是齐次线性方程组（2.11）的一个基础解系，是相应的非齐次线性方程组（2.17）的一个特解，则（2.17）通解为：基础解系含有n-r个解向量。定理3.1阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。定理3.2设阶方阵A有互不相同的特征值，(λiE–A)χ=0的基础解系为。则；；……；线性无关。定理3.3设n阶方阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,…，λn，则有（1）λ1+λ2+…+λn=a1

22、1+a22+…+ann(4.9)(2)λ1λ2…λn=

23、A

24、(4.10)定理3.4设A为n阶方阵，(A)=a0I+a1A+amAm，若λ为A的特征值，则(λ)=a0+a1λ+…+amλm是(A)的特征值。定理3.5若n阶方阵A与B相似，则它们具有相同的特征多项式和特征值。定理3.6n阶矩阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。......P73定理3.6阶矩阵与阶对角阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.P74定理3.6推