线代(2)期末复习题集1706.pdf

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1、线性代数(2)期末复习习题集王振翎说明：每个我认为较为有趣的知识点在这里对应1~2道习题，仅作检测何处知识点不牢固用，不能用于某知识点的深入探究。倘若需要探究，可以阅读复旦姚慕生编《高等代数（第三版）》的习题集（图书馆有），不过这学期学的是那本书后面的章节，难度较大。打*号的题目没有时间看就算了。不保证我会给出答案（但我尽可能努力）！一、多项式1.多项式的整除第一题是很重要的内容，可以说是填空题的必考点了。【习题1】（辗转相除法求多项式间的最大公因式）54232设fxxxxxgxxxx()=+2−−+31,()=+2−−2，求(fg,)以及使得下面的等式uf+=vg(fg,)成立

2、的uxvx(),()。综合除法在课本上有一定篇幅，但我觉得并不重要，它可以被大除法代替。【习题2】*（综合除法）（课本习题8.11）43把fxx()=−+2x3表为x−2的方幂和。下面两道习题分别涉及Lagrange插值和中国剩余定理，Lagrange插值的讨论在课本例题8.3中，下面给出中国剩余定理的描述（来自杨利军老师的课件）。【习题3】*（Lagrange插值）（姚慕生高代习题书）k设fx()为n次多项式且满足fk()=,k=0,1,,n，求fn(+1)。k+1【习题4】*（中国剩余定理）（杨利军老师习题课）设abc,,为三个不同的实数，用xaxbxc−−−,,除fx()

3、的余数分别为rst,,。试求用(xaxbxc−−−)()()除fx()的余式。Bezout定理是互素和最大公因式的重要内容。是有必要牢固记住的。【习题5】（Bezout定理与互素）设fguvFx,,,∈[]且fg,0≠，若uf+=vg(fg,)，证明(fg,1)=。2.因式分解（不怎么考）因式分解的存在唯一的定理在课本上也是花了大力气去证明的，是作为多项式理论的基石存在的（虽然不怎么考），前面知道复多项式环和实多项式环中的不可约多项式都有哪些就可以了。【习题6】*（因式分解）（姚慕生高代习题书）22设fgFx,∈[]且g≠0，证明gf

4、的充要条件是gf

5、。多项式与其导数的公共根是

6、多项式的重根，这一点可能有些老师并没有提到，下面把这条定理给出如下。（来自杨利军老师的课件）然后给出一道稍微有些灵活的习题。【习题7】*（导数与重根的关系）2222设fg,∈[]x（注意是！），(fg,1)=。证明fg+的重根是(fg′′)+()的根。Vieta定理是复多项式因式分解理论的一个小成果，简单看看就可以了。【习题8】*（Vieta定理）（姚慕生高代习题书）32111设xxx,,是方程x+px++=qxr0的三个根，试用pqr,,表示++。123222xxx1233.有理系数多项式（整系数多项式）这一块需要知道的有三点，定理8.12、求整系数多项式的根和Eisens

7、tain判别法。求有理多项式的根在考试中是常见填空题考点，有必要将法则记牢。【习题9】（整系数多项式的根）（课本习题8.26(2)）42求fx()4751=−−−xxx的所有有理根。Eisenstain判别法的条件比较多，容易搞混，还是需要在考前仔细看看的。【习题10】（Eisenstain判别法）（姚慕生高代习题书）8证明多项式fxx()=+1在有理数域上不可约。但是有些时候不能使用这个判别法，用反证法即可。【习题11】*（定理8.12）（杨利军老师期中考题）43证明多项式fxx()=++3x1在有理数域上不可约。二、Jordan标准型理论Jordan标准型基本上是考计算了，这

8、方面的证明题放在第三块中一起来可能酸爽一些。可能在下面这种情况的Jordan标准型不太好算，建议大家动笔算一算。【习题12】（Jordan标准型的计算）（课本例题9.1）01002010求矩阵A=的Jordan标准型J，并求可逆矩阵P，使得AP=PJ。0200−4020对角块阵的Jordan标准型计算起来要容易一些，可以分块计算。注意幂零矩阵的k阶Jordan块块数计算公式，这个虽然一般用不上，但还是看看吧。kkk+−11Nk()=+−rank(A)rank(A)2rank(A)【习题13】（Jordan标准型的计算）（15年期末考题）121求

9、矩阵A=21的Jordan标准型J。151极小多项式是本章的重要内容，极小多项式可以从Jordan标准型读出。【习题14】（极小多项式）求习题12中矩阵A的极小多项式。极小多项式的根是特征值以及化零多项式是极小多项式的倍式，这两条是极小多项式的重要性质。【习题15】（极小多项式）（15年期末考题）53OAM≠∈()为幂零矩阵，且有AAO+=2，求A的极小多项式。n不变子空间问题也是很有意思的问题，这里是求一个线性变换的所有不变子空间。【习题16】（不变子空间