高数复习题目及讲解.pdf

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1、高等数学期末复习资料○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）高等数学（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，第一章函数与极限则limfxgx0第一节函数（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）1○邻域（去心邻域）（★）无穷大，则fx为无穷小；反之，若fx为无Ua,

2、xxa穷小，且fx0，则f1x为无穷大Ua,x

3、0xa【题型示例】计算：limfxgx

4、（或x）xx0第二节数列的极限1．∵fx≤M∴函数fx在xx的任一去心0○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列xn，证明limxan邻域Ux0,内是有界的；x【证明示例】N语言（∵fx≤M，∴函数fx在xD上有界；）1．由xa化简得ng，n2．limgx0即函数gx是xx时的无穷小；0xx0∴Ng（limgx0即函数gx是x时的无穷小；）x2．即对0，Ng，当nN时，

5、始终3．由定理可知limfxgx0xx0有不等式xa成立，n（limfxgx0）∴limxaxnx第五节极限运算法则第三节函数的极限○极限的四则运算法则（★★）○xx时函数极限的证明（★）0（定理一）加减法则【题型示例】已知函数fx，证明limfxA（定理二）乘除法则xx0关于多项式px、qx商式的极限运算【证明示例】语言mm11．由fxA化简得0xx0g，pxa0xa1xam设

6、：nn1∴gqxb0xb1xbn2．即对0，g，当0xx0时，nm始终有不等式fxA成立，pxa0则有limnmxqxb∴limfxA0xx00nm○x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数fx，证明limfxAfx0xgx00【证明示例】X语言gx0fx1．由fxA化简得xg，limgx000,fx0xx0g

7、x0∴Xggx00fx002．即对0，Xg，当xX时，始终有fx0不等式fxA成立，（特别地，当lim（不定型）时，通常分xx0gx0∴limfxAx子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极第四节无穷小与无穷大限值，也可以用罗比达法则求解）○无穷小与无穷大的本质（★）函数fx无穷小limfx0x3【题型示例】求值lim2函数fx无穷大limfxx3x9第1页（共9页）高等数学期末复习资料x1

8、x1x1【求解示例】解：因为x3，从而可得x3，所以原2xx32122解：limlimlim1xx3311x2x1x2x121x2x1式limlimlimx3x29x3x3x3x3x362x12xx122121xx12222x12x3lim1lim1其中x3为函数fx的可去间断点2xx12xx121212x

9、9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：221x2xlim121xx1202limx1221x21xx30x31121xlim121xe解：lim2limlimx3xx9Lx32x326x922xlim21x21x1eee○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那第七节无穷小量的阶（无

10、穷小的比较）○等价无穷小（★★）么，limfxflimxU~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1U)xx00xx1．Ux3~1e【题型示例】求值：lim2x3x9122．U~1cosUxx33162【求解示例】limlimxx33xx229966（乘除可替，加减不行）ln1xxln1x【题型