高数复习题目及讲解.pdf

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高等数学期末复习资料○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）高等数学（定理三）假设fx为有界函数，gx为无穷小，第一章函数与极限则limfxgx0第一节函数（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fx为○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）1○邻域（去心邻域）（★）无穷大，则fx为无穷小；反之，若fx为无Ua,|xxa穷小，且fx0，则f1x为无穷大Ua,x|0xa【题型示例】计算：limfxgx（或x）xx0第二节数列的极限1．∵fx≤M∴函数fx在xx的任一去心0○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列xn，证明limxan邻域Ux0,内是有界的；x【证明示例】N语言（∵fx≤M，∴函数fx在xD上有界；）1．由xa化简得ng，n2．limgx0即函数gx是xx时的无穷小；0xx0∴Ng（limgx0即函数gx是x时的无穷小；）x2．即对0，Ng，当nN时，始终3．由定理可知limfxgx0xx0有不等式xa成立，n（limfxgx0）∴limxaxnx第五节极限运算法则第三节函数的极限○极限的四则运算法则（★★）○xx时函数极限的证明（★）0（定理一）加减法则【题型示例】已知函数fx，证明limfxA（定理二）乘除法则xx0关于多项式px、qx商式的极限运算【证明示例】语言mm11．由fxA化简得0xx0g，pxa0xa1xam设：nn1∴gqxb0xb1xbn2．即对0，g，当0xx0时，nm始终有不等式fxA成立，pxa0则有limnmxqxb∴limfxA0xx00nm○x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数fx，证明limfxAfx0xgx00【证明示例】X语言gx0fx1．由fxA化简得xg，limgx000,fx0xx0gx0∴Xggx00fx002．即对0，Xg，当xX时，始终有fx0不等式fxA成立，（特别地，当lim（不定型）时，通常分xx0gx0∴limfxAx子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极第四节无穷小与无穷大限值，也可以用罗比达法则求解）○无穷小与无穷大的本质（★）函数fx无穷小limfx0x3【题型示例】求值lim2函数fx无穷大limfxx3x9第1页（共9页） 高等数学期末复习资料x1x1x1【求解示例】解：因为x3，从而可得x3，所以原2xx32122解：limlimlim1xx3311x2x1x2x121x2x1式limlimlimx3x29x3x3x3x3x362x12xx122121xx12222x12x3lim1lim1其中x3为函数fx的可去间断点2xx12xx121212x9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：221x2xlim121xx1202limx1221x21xx30x31121xlim121xe解：lim2limlimx3xx9Lx32x326x922xlim21x21x1eee○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）么，limfxflimxU~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1U)xx00xx1．Ux3~1e【题型示例】求值：lim2x3x9122．U~1cosUxx33162【求解示例】limlimxx33xx229966（乘除可替，加减不行）ln1xxln1x【题型示例】求值：lim2第六节极限存在准则及两个重要极限x0x3x【求解示例】ln1xxln1x○夹迫准则（P53）（★★★）解：因为x0,即x0,所以原式lim2x0x3xsinx第一个重要极限：lim11xln1x1xxx11x0xlimlimlimx0xx3x0xx3x0x33sinx∵x0,，sinxxtanx∴lim1第八节函数的连续性2x0x○函数连续的定义（★）x1lim1x0limfxlimfxfx0limlim1xxxx00xx00sinxsinxsinxlim○间断点的分类（P67）（★）xx0x跳越间断点（不等）sin(xx0)第一类间断点（左右极限存在）（特别地，lim1）可去间断点（相等）xx0xx0第二类间断点○单调有界收敛准则（P57）（★★★）无穷间断点（极限为）x（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）1第二个重要极限：lim1ee2xx0xx【题型示例】设函数fx，应该怎样选gxlimgxaxx0（一般地，limfxlimfx，其中择数a，使得fx成为在R上的连续函数？limfx0）【求解示例】f0e20e1ex12x3【题型示例】求值：lim1．∵x2x1f00aa【求解示例】fa02．由连续函数定义limfxlimfxf0ex0x0∴ae第2页（共9页） 高等数学期末复习资料第九节闭区间上连续函数的性质○反函数的求导法则（★）○零点定理（★）【题型示例】求函数f1x的导数【题型示例】证明：方程fxgxC至少有一个根【求解示例】由题可得fx为直接函数，其在定于域D介于a与b之间11【证明示例】上单调、可导，且fx0；∴fxfx1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在○复合函数的求导法则（★★★）闭区间ab,上连续；2【题型示例】设ylnearcsinx1x2a2，求y2．∵ab0（端点异号）【求解示例】3．∴由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使1arcsinx2122解：yexa2arcsinx122得0，即fgC0（01）exa4．这等式说明方程fxgxC在开区间a,b2x1xa221arcsinx21内至少有一个根earcsinx2122222第二章导数与微分exa11x2xa第一节导数概念2x○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）212arcsinx2121xxxee1x0arcsinx2122222【题型示例】已知函数fx，在x0exa22xxaaxbx0处可导，求a，b1arcsin1x2xxearcsinx21222222【求解示例】exax12xxaf0e001e12fe0101．∵，fb0第四节高阶导数fa0fe0012nn1nn1dydy○fxfx（或）（★）nn1f0f0a1dxdx2．由函数可导定义f0f0f0b2【题型示例】求函数yln1x的n阶导数11∴ab1,2【求解示例】yx1，1x【题型示例】求yfx在xa处的切线与法线方程12（或：过yfx图像上点afa,处的切线与法线y1x11x，方程）23【求解示例】y11x121x1．yfx，y|xafa„„2．切线方程：yfafaxannn1y(1)(n1)(1！x)法线方程：yfa1xa第五节隐函数及参数方程型函数的导数fa○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★★★）y第二节函数的和（差）、积与商的求导法则【题型示例】试求：方程yxe所给定的曲线C：○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）yyx在点1e,1的切线方程与法线方程1．线性组合（定理一）：()uvuvy【求解示例】由yxe两边对x求导特别地，当1时，有()uvuvyy2．函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv即yxe化简得y1eyuuvuv113．函数商的求导法则（定理三）：∴y1vv21e1e第三节反函数和复合函数的求导法则第3页（共9页） 高等数学期末复习资料1【证明示例】∴切线方程：y1x1e1e1．（建立辅助函数）令函数fxln1x，则对法线方程：y11ex1ex0，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区○参数方程型函数的求导1xtd2y间0,上可导，并且fx；【题型示例】设参数方程，求1x2ytdx2．由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式dy12ln1xxln100成立，dytdydx1【求解示例】1.2.2dxtdxt1化简得ln1xx，又∵0,x，第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）1第七节函数的微分1○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）∴f1，∴ln1x1xx，1dyfxdxx即证得：当x1时，eex第三章中值定理与导数的应用第二节罗比达法则第一节中值定理○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）○引理（费马引理）（★）☆1．等价无穷小的替换（以简化运算）○罗尔定理（★★★）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比【题型示例】现假设函数fx在0,上连续，在0,达法则的三个前提条件上可导，试证明：0,，0A．属于两大基本不定型（,）且满足条件，0使得ffcossin0成立fxfx【证明示例】则进行运算：limlimxagxxagx1．（建立辅助函数）令xfxsinx（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间☆B．不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0,上可导；⑴0型（转乘为除，构造分式）2．又∵0f0sin00【题型示例】求值：limxxlnx0fsin0【求解示例】1即00lnxlnxx解：limxxlnlimlimlim3．∴由罗尔定理知x0x01Lx0x0x1120,，使得ffcossin0成立xxx○拉格朗日中值定理（★）1limx0【题型示例】证明不等式：当x1时，exexax0【证明示例】（一般地，limxxln0，其中,R）xx01．（建立辅助函数）令函数fxe，则对x1，显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间⑵型（通分构造分式，观察分母）fxex；111,x上可导，并且【题型示例】求值：limx0sinxx2．由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式【求解示例】x1eex1e成立，11xsinxxsinx解：limlimlim2又∵ee1，∴exe11x1eexe，x0sinxxx0xsinxx0x00化简得exex，即证得：当x1时，exex00xsinx1cosxx1cosxsinlimlimlimlim0【题型示例】证明不等式：当x0时，ln1xxLx0x2x022xLx02xx0第4页（共9页） 高等数学期末复习资料0⑶0型（对数求极限法）000x【题型示例】求值：limx0x(1)0(2)(3)01【求解示例】0xxlnx解：设yx,两边取对数得：lnylnxxlnx1⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）x⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）lnxlnx⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）对对数取xy0时的极限：limlnlimlimx0x01Lx0第三节泰勒中值定理（不作要求）1xx第四节函数的单调性和曲线的凹凸性1○连续函数单调性（单调区间）（★★★）limlny32limxlimx0，从而有limylimelnyex0e01【题型示例】试确定函数fx2x9x12x3的x01x0x0x0单调区间2x【求解示例】⑷1型（对数求极限法）1．∵函数fx在其定义域R上连续，且可导1【题型示例】求值：limcosxxsinxfx6x218x12x0∴【求解示例】2．令fx6x1x20，解得：xx1,2121lncosxxsin解：令ycosxsinxx,两边取对数得lny,3．（三行表）xlncosxxsinx,111,222,对lny求x0时的极限，limlnylimxx00xfx0000lncosxxsincosxxsin10limlim1,从而可得fx极大值极小值Lx00xxcosxxsin104．∴函数fx的单调递增区间为,1,2,；limlnylim=limyelnyex0e1exx00单调递减区间为1,2x⑸0【题型示例】证明：当x0时，ex1型（对数求极限法）tanx【证明示例】1x【题型示例】求值：lim1．（构建辅助函数）设xex1，（x0）x0xx2．xe10，（x0）【求解示例】tanx11∴x00解：令y,两边取对数得lnytanxln,xx3．既证：当x0时，exx11【题型示例】证明：当x0时，ln1xx对lny求x0时的极限，limlnylimtanxlnxx00x【证明示例】11．（构建辅助函数）设xln1xx，（x0）lnxlnxxlimlimlim1x01Lx0x0sec2x2．x10，（x0）1tanxtan2x1xtanx∴x000sin2xsin2x02sinxxcos3．既证：当x0时，ln1xxlimlimlim0,x00xxLxx01limlny从而可得lim=limyelnyex0e01○连续函数凹凸性（★★★）xx0023【题型示例】试讨论函数y13xx的单调性、极值、○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）凹凸性及拐点【证明示例】第5页（共9页） 高等数学期末复习资料y3x26x3xx2【求解示例】1．1．∵函数fx在其定义域1,3上连续，且可导y6x66x12∴fx33xy3xx20xx0,2122．令解得：2．令fx3x1x10，yx610x1解得：xx1,1123．（四行表）3．（三行表）x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)x11,111,3y00yfx00y(1,3)fx15极小值极大值234．⑴函数y13xx单调递增区间为(0,1),(1,2)4．又∵f12,f12,f318单调递增区间为(,0),(2,)；∴fxf12,fxf318⑵函数y13x23x的极小值在x0时取到，maxmin第六节函数图形的描绘（不作要求）为f01，第七节曲率（不作要求）极大值在x2时取到，为f25；第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分23⑶函数y13xx在区间(,0),(0,1)上凹，第一节不定积分的概念与性质在区间(1,2),(2,)上凸；○原函数与不定积分的概念（★★）23⑴原函数的概念：⑷函数y13xx的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值假设在定义区间I上，可导函数Fx的导函数○函数的极值与最值的关系（★★★）为Fx，即当自变量xI时，有Fxfx或⑴设函数fx的定义域为D，如果x的某个邻MdFxfxdx成立，则称Fx为fx的一域UxMD，使得对xUxM，都适合不个原函数⑵原函数存在定理：（★★）等式fxfxM，如果函数fx在定义区间I上连续，则在I上我们则称函数fx在点xfx处有极大MM,必存在可导函数Fx使得Fxfx，也就是值fxM；说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）令xMxM1,xM2,xM3,...,xMn⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I上，函数fx的带有任意常数项则函数fx在闭区间ab,上的最大值M满足：C的原函数称为fx在定义区间I上的不定积分，Mmaxfax,M1,xM2,xM3,...,xMn,fb；⑵设函数fx的定义域为D，如果x的某个邻域即表示为：fxdxFxCm（称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称UxmD，使得对xUxm，都适合不等为积分表达式，x则称为积分变量）式fxfxm，○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）我们则称函数fx在点xfx处有极小值mm,kfx1kgxdx2k1fxdxk2gxdxfxm；第二节换元积分法令xmxm1,xm2,xm3,...,xmn○第一类换元法（凑微分）（★★★）（dyfxdx的逆向应用）则函数fx在闭区间ab,上的最小值m满足：mminfax,,x,x,...,x,fb；fxxdxfxdxm1m2m3mn3【题型示例】求函数fx3xx在1,3上的最值第6页（共9页） 高等数学期末复习资料1第三节分部积分法【题型示例】求dxax22○分部积分法（★★）【求解示例】⑴设函数ufx，vgx具有连续导数，则其1111xx1解：dxdxdarctanC分部积分公式可表示为：udvuvvdu2222axxxaaaa11⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”aa○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：1【题型示例】求dx⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；21x⑵就近凑微分：（vdxdv）【求解示例】⑶使用分部积分公式：udvuvvdu1111解：dxd2x1d2x12x122x122x1⑷展开尾项vduvudx，判断21xCa．若vudx是容易求解的不定积分，则直接计○第二类换元法（去根式）（★★）算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法（dyfxdx的正向应用）与有理函数积分可以轻易求解出结果）；⑴对于一次根式（a0,bR）：b．若vudx依旧是相当复杂，无法通过a中方2tbaxb：令taxb，于是x，法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现a容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则原式可化为t则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C⑵对于根号下平方和的形式（a0）：x2【题型示例】求exdx22ax：令xatant（t），22【求解示例】x22x2x2xx2x解：exdxxedxxdexeedx于是tarctan，则原式可化为atsec；axe22x22xedxxxexxdex⑶对于根号下平方差的形式（a0）：22xxxxxx22xe2xe2edxxe2xe2eCa．ax：令xasint（t），22【题型示例】求exsinxdxx于是tarcsin，则原式可化为atcos；【求解示例】axxxx解：esinxdxedcosxecosxcosxde22b．xa：令xasect（0t），xxxx2ecosxecosxdxecosxedsinxaxxx于是tarccos，则原式可化为attan；ecosxesinxsinxdexxxxecosxesinxesinxdx1【题型示例】求dx（一次根式）即：exxdxexxexxxdex21xsincossinsin【求解示例】xx111∴esinxdxesinxcosxC解：dxtx21tdtdttC21xC211221xxtt第四节有理函数的不定积分22dxtdt○有理函数（★）22【题型示例】求axdx（三角换元）Pxpxaxmmax1a01m设：【求解示例】Qxqxbxnnbx1b01n2xasin(tt)a222222解：axdxxacostdt1cos2tdtPxtarcsin2对于有理函数，当Px的次数小于Qx的adxacostQx22aa1tsin2tCtsincosttCPx222次数时，有理函数是真分式；当Px的次数Qx第7页（共9页） 高等数学期末复习资料Px第五章定积分极其应用大于Qx的次数时，有理函数是假分式第一节定积分的概念与性质Qx○定积分的定义（★）○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）nbPxfxdxlimfiixI⑴将有理函数的分母Qx分拆成两个没有a0i1Qx（fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，x公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，k为一次因式xa；而另一个多项式可以表示为ab,称为积分区间）l22二次质因式xpxq，（pq40）；○定积分的性质（★★★）bb即：QxQxQx⑴fxdxfudu12aanna一般地：mxnmx，则参数a⑵fxdx0mmabb22bc⑶kfxdxkfxdxaxbxcaxxaaaa⑷（线性性质）bbb则参数pqbc,kfx1kgxdx2k1fxdxk2gxdxaaaaa⑸（积分区间的可加性）Pxbcb⑵则设有理函数的分拆和式为：fxdxfxdxfxdxQxaacPxPx12Px⑹若函数fx在积分区间ab,上满足fx0，klbQxxax2pxq则fxdx0；a其中（推论一）Px1AA12Ak若函数fx、函数gx在积分区间ab,上满...kk2xaxaxaxabb足fxgx，则fxdxgxdx；aaPx2Mx1N1Mx2N2bbx22pxqlx2pxqxpxq2（推论二）fxdxfxdxaa○积分中值定理（不作要求）MxNll...第二节微积分基本公式l2xpxq○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）MM12Ml（定理三）若果函数Fx是连续函数fx在区间参数AA12,,...,Ak,,,...,由待定系NNNab,上的一个原函数，则12lb数法（比较法）求出fxdxFbFa⑶得到分拆式后分项积分即可求解a2○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）x【题型示例】求dx（构造法）dxx1xftdtfxxfxxdx【求解示例】12edttx2x1xx111【题型示例】求limcosx2dxdxx1dxx0xx1x1x1【求解示例】112120d1t2xdxdxdxxxlnx1Cedttedtx120dxcosxcosx解：limlimx00x2Lx2第五节积分表的使用（不作要求）x第8页（共9页）