北京交大2007高代答案

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1、北京交通大学2007年硕士研究生入学考试试卷及参考答案1xx2···xn12n11a1a1···a11aa2···an11.(10分)已知行列式P(x)=222，其中a1;a2;···;an1是互不相同...............1aa2···an1n1n1n1的数，证明P(x)是一个n−1次多项式，并求出P(x)的最高次项的系数和P(x)的根.证明：(法1）把行列式按第一行展开可得n∑1P(x)=(−1)2+iAxi;ii=02n1i1i+1n1a1a1···a11a1

2、···a1a1···a1aa2···an11a···ai1ai+1···an12222222其中A0=........,Ai=..........................aa2···an11a···ai1ai+1···an1n1n1n1n1n1n1n1因此P(x)是一个至多n−1次的多项式，又由行列式性质可知P(ai)=0;∀1≤i≤n−1,结合已知条件得P(x)有n−1个两两不同的根，故P(x)是n−1次多项式，其根为a1;···;an1,首项系数为(−1)n

3、+1A.(此方法不够严密，因为无法说明P(x)不等于0)n1∏∏法2直接利用范得蒙行列式计算方法求出P(x)=1jin1(ai−aj)1in1(ai−x),从而得出欲证结论。11−11−112.(10分)求解矩阵方程XA=B,其中A=022;B=110.1−10211解：对下列矩阵施行列初等变换11−1100100022022020−1(1)+(2)1−101−21−(2)+(3)

4、1−23(1)+(3)1−111−22→1−24→1101011012112−132−141001000100101(2)(3)+(2)211−11001(3)−(3)+(1);31−14−114→3→33312111033332−1425423363−114333于是X=BA1=211:3332543633.(10分)求多项式f(

5、x)=x5−5x4+7x3−2x2+4x−8在有理数域、实数域和复数域上的标准分解式.1解：由余数定理可知f(x)的有理根只可能为±1;±2;±4±8，通过试根得x=2是三重根，因此用综合除法可得f(x)=(x−2)3(x2+x+1),于是f(x)在有理数域和实数域上的标准分解式都pp是f(x)=(x−2)3(x2+x+1)，在复数域上的标准分解式为f(x)=(x−2)3(x−1+i3)(x−1i3).224.(10分)设列向量=(1;3;0;5)T;=(1;2;1;4)T;=(1;1;

6、2;3)T;=(1;1;2;3)T;=12345(1;−3;6;−1)T;=(1;a;3;b)T,这里()T表示转置，(1)求向量组{1;2;3;4;5}的极大线性无关组；(2)求向量组{1;2;3;4;5;}的秩；(3)令A=(1;2;3;4;5)，问a;b为何值时，线性方程组AX=有解？在有解的情形时，求其全部解。解：考察下列矩阵行的初等变换111111111111−3(1)+(2)3211−3a0−1−2−2−6a−3−5(1)

7、+(4)012263012263→5433−1b0−1−2−2−6b−5(2)+(3)10−1−1−5a−2−(2)+(4)0−1−2−2−6a−3;(2)+(1)00000a→00000b−a−2于是{1;2}是向量组{1;2;3;4;5}的一个极大线性无关组。当a;b−a−2不全为零时，向量组{1;2;3;4;5;}的秩为3；否则为2.当a=0且b=2时，方程组AX=有解，这时它的通解为−2−1−1−5

8、3226X=0+k1−1+k20+k30:00−10000−15.(10分)证明：如果(f(x);g(x))=1，那么(f(x)g(x);f(x)+g(x))=1.证明：设(f(x)g(x);f(x)+g(x))=d(x)̸=1，则存在不可约多项式p(x)使得p(x)

9、d(x).于是有p(x)

10、f(x)g(x)，因而p(x)

11、f(x)或p(x)

12、g(x).此外，还有p(x