定积分的念和性质(Concept.doc

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1、第五章定积分Chapter5DefiniteIntegrals5.1定积分的概念和性质（ConceptofDefiniteIntegralanditsProperties）一、定积分问题举例（ExamplesofDefiniteIntegral）设在区间上非负、连续，由，，以及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。Letbecontinuousandnonnegativeontheclosedinterval.Thentheregionboundedbythegraphof,the-axis,

2、theverticallines,andiscalledthetrapezoidwithcurvededge.黎曼和的定义（DefinitionofRiemannSum）设是定义在闭区间上的函数，是的任意一个分割，，其中是第个小区间的长度，是第个小区间的任意一点，那么和，称为黎曼和。Letbedefinedontheclosedinterval,andletbeanarbitrarypartitionof,,whereisthewidthofthethsubinterval.Ifisanypointint

3、hethsubinterval,thenthesum，,IscalledaRiemannsumforthepartition.二、定积分的定义（DefinitionofDefiniteIntegral）定义定积分（DefiniteIntegral）设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间：各个小区间的长度依次为，，…，。在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（），并作出和。记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为

4、函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即==,其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。Letbeafunctionthatisdefinedontheclosedinterval.Considerapartitionoftheintervalintosubinterval(notnecessarilyofequallength)bymeansofpointsandlet.Oneachsubinterval,pickanarbitrarypoint(whi

5、chmaybeanendpoint);wecallitasamplepointfortheithsubinterval.WecallthesumaRiemannsumforcorrespondingtothepartition.Ifexists,wesayisintegrableon,where.Moreover,,calleddefiniteintegral(orRiemannIntegral)offromto,isgivenby=.Theequality=meansthat,corresponding

6、toeach>0,thereisasuchthat

7、ontinuousontheclosedinterval,itisintegrableon.定理2可积性定理（IntegrabilityTheorem）设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。Theorem2Ifisboundedonandifitiscontinuousthereexceptatafinitenumberofpoints,thenisintegrableon.三．定积分的性质（PropertiesofDefiniteIntegrals）两个特殊的定积分（1）如果在点有意义，则

8、；（2）如果在上可积，则。TwoSpecialDefiniteIntegrals(1)Ifisdefinedat.Then.(2)Ifisintegrableon.Then.定积分的线性性（LinearityoftheDefiniteIntegral）设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且（1）=;(2)=+;andconsequently,(3)=-.Supposethatandareintegrableonandi