定积分的性质和基本定理

《定积分的性质和基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。§2.1定积分的基本性质一、定积分的基本性质性质1∫ba1dx=∫badx=b-a证f(ξi）Δxi＝１·Δxi＝(b-a)=b-a所以∫ba1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且∫ba［αf(x)+βg(x)

2、］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由F(ξi）Δxi＝［αf(ξi)+βg(ξi）］Δxi＝［αf(ξi）Δxi＋βg(ξi）Δxi］＝α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx，因此αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且∫ba［αf(x)+βg(x)］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx特别当α=1,β=±1时，有∫ba［f(x)±g(x)］dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx当β=0时∫baαf(x)dx=α∫baf(x)dx性质2主要用于定积

3、分的计算性质3对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c的位置，由排列知有六种顺序(i)当a

4、af(x)dx=∫bcf(x)dx-∫baf(x)dx,则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx对于其它4种位置与(ii)证明类似。性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。。性质4若f(x)在［a,b］上可积，f(x)≥0，且a0，有f(ξi）Δxi>0有f(ξi）Δxi>0，由函数极限不等式知∫baf(x)dx=f(ξi）Δxi≥0性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。性质5若f(x),g(x)在［a,b］上可积，f(x)≥g(x)，且a

5、(x)dx≥∫bag(x)dx证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4知。∫baf(x)dx-∫bag(x)dx＝∫ba［f(x)-g(x)］dx≥0性质5用于不通过计算，比较两定积分大小。性质6若f(x)在［a,b］上连续f(x)≥0但f(x)０，则∫baf(x)dx>0证由f(x)=0，则存在x0∈［a,b］，不妨设x０∈(a,b)，有f(x０)>0，由f(x)在［a,b］上连续，所以在点x０处连续，即f(x)=f(x０)>0，由连续保号性知，对0<0，当x∈(x０-δ１,x０＋δ１）时，有f(x)>x∈［x０－，

6、x０＋］(x０－δ１，x０＋δ１）时，f(x)>，则∫baf(x)dx=∫x０－af(x)dx+f(x)dx+∫bx０＋f(x)dx≥f(x)dx≥dx=dx=>0性质6用于判断定积分值的符号推论若f(x),g(x)在［a,b］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a∫bag(x)dx该推论用于不通过计算比较两定积分的大小若将性质5用不等式－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)｜，有－∫ba｜f(x)｜dx≤∫baf(x)dx≤∫ba｜f(x)｜dx，于是有性质7若f(x)在［a,b］上连续，

7、则｜∫baf(x)｜dx≤∫ba｜f(x)｜dx性质8若f(x)在［a,b］上连续，m、M是f(x)区间［a,b］上的最小值与最大值，则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)该性质用于估计定积分值的范围证：由m≤f(x)≤M,x∈［a,b］a