定积分的性质和基本定理.doc

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时间:2020-03-08

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1、第二节定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便,在很情况下难以求出定积分的值。因此,我们在定积分定义的基础上,讨论它的各种性质,揭示定积分与微分的内在联系,寻找定积分的有效的,简便的计算方法。§2.1定积分的基本性质一、定积分的基本性质性质1∫ba1dx=∫badx=b-a证f(ξi)Δxi=1·Δxi=(b-a)=b-a所以∫ba1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则),设f(x),g(x)在[a,b]上可积,对任何常数α、β,则αf(x)+βg(x)在[a,b]上可积,且∫ba[αf(x)+βg(x)]dx

2、=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx证:设F(x)=αf(x)+βg(x),由F(ξi)Δxi=[αf(ξi)+βg(ξi)]Δxi=[αf(ξi)Δxi+βg(ξi)Δxi]=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx,因此αf(x)+βg(x)在[a,b]上可积,且∫ba[αf(x)+βg(x)]dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx特别当α=1,β=±1时,有∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx当β=0时∫baαf(x)dx=α∫baf(x)dx性质2主要用于定积分的计算性

3、质3对于任意三个实数a,b,c,若f(x)在任意两点构成的区间上可积,则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c的位置,由排列知有六种顺序(i)当a

4、bcf(x)dx-∫baf(x)dx,则∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx对于其它4种位置与(ii)证明类似。性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。。性质4若f(x)在[a,b]上可积,f(x)≥0,且a0,有f(ξi)Δxi>0有f(ξi)Δxi>0,由函数极限不等式知∫baf(x)dx=f(ξi)Δxi≥0性质4用于不通过计算,判别定积分的符号。性质5若f(x),g(x)在[a,b]上可积,f(x)≥g(x),且a

5、)dx证:由f(x)-g(x)≥0,由性质2,4知。∫baf(x)dx-∫bag(x)dx=∫ba[f(x)-g(x)]dx≥0性质5用于不通过计算,比较两定积分大小。性质6若f(x)在[a,b]上连续f(x)≥0但f(x)0,则∫baf(x)dx>0证由f(x)=0,则存在x0∈[a,b],不妨设x0∈(a,b),有f(x0)>0,由f(x)在[a,b]上连续,所以在点x0处连续,即f(x)=f(x0)>0,由连续保号性知,对0<0,当x∈(x0-δ1,x0+δ1)时,有f(x)>x∈[x0-,x0+](x0-δ1,x0+δ

6、1)时,f(x)>,则∫baf(x)dx=∫x0-af(x)dx+f(x)dx+∫bx0+f(x)dx≥f(x)dx≥dx=dx=>0性质6用于判断定积分值的符号推论若f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(x)≥g(x),且f(x)≠g(x),a∫bag(x)dx该推论用于不通过计算比较两定积分的大小若将性质5用不等式-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,有-∫ba|f(x)|dx≤∫baf(x)dx≤∫ba|f(x)|dx,于是有性质7若f(x)在[a,b]上连续,则|∫baf(x)|dx≤∫ba

7、|f(x)|dx性质8若f(x)在[a,b]上连续,m、M是f(x)区间[a,b]上的最小值与最大值,则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)该性质用于估计定积分值的范围证:由m≤f(x)≤M,x∈[a,b]a

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