2014届高考数学（理科）专题教学案：计数原理、随机变量及其分布列（含答案）.doc

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1、常考问题17　计数原理、随机变量及其分布列[真题感悟](2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解　(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P

2、(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，所以随机变量ξ的分布列是ξ01P(ξ)因此E(ξ)＝1×＋×＝.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理，B级要求．(2)排列与组合，B级要求．(3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件，A级要求．(4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.1．两种计数原理分类计数原理和分步计数原理．2．排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…

3、(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*)．3．组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：C＝＝(m≤n，m，n∈N*)．(3)组合数性质：C＝C；C＋C＝C.4．概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：①离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；②离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1°pi≥0(i＝1,2,3，…，n)；2°p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1；(2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)符号表示：X～0－1分布；②

4、超几何分布：1°符号表示：X～H(n，M，N)；2°概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝；③二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1°符号表示：X～B(n，p)；2°概率分布列：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k.注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n)＝1.热点一　与计数原理有关的问题【例1】(2011·江苏卷)设整数n≥4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b∈{1,2,3，…，n}，a＞b.(1)记An为满足a－b＝

5、3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(a－b)是整数的点P的个数，求Bn.解　(1)点P的坐标满足条件1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及a－b＝3k的点P的个数，只要讨论fn(k)≥1的情形．由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤，设n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0,1,2}，则k≤m，所以Bn＝fn(k)＝(n－3k)＝mn－＝，将m＝代入上式，化简得Bn＝－，所以Bn＝[规律方法]此计数原理问题中要计算点的个数

6、，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算．【训练1】(2012·江苏卷)设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)．解　(1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4.(2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次

7、以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m·2k，其中m为奇数，k∈N*.由条件知，若m∈A，则x∈A⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数．于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)＝热点二　概率、相互独立事件和独立重复实验【例2】(2012·南通模拟)某品牌设计了编号依次为1,2，3，…，n(n≥4，且n∈N*)的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j(0≤i

8、，j≤n，且i，j∈N)种款式用来拍摄广告．(1)若i＝j＝2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n－2)号中选择，乙在(m＋1)到n号中选择．记Pst(1≤s≤m，m＋1≤t≤n)为款式(编号)s和t同时被选中的概率，求所有的Pst的和；(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．解　(1)甲从1到m(m为给定的正整数，且2≤m≤n－2)号中任选两款，乙从(m＋1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为CC，记“款式s和t(1≤s≤m，