高考数学复习课时冲关练(十六) 5_3.pdf

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1、课时冲关练(十六)用空间向量的方法解立体几何问题(45分钟　80分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·北京模拟)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为　()A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,,-15【解析】选B.⊥·=3+5-2z=0,所以z=4,又BP⊥平面ABC,所以·=x-1+5y+6=0,①·=3x-3+y-3z=0,②由①②得x=,y=-.2.(2014·广州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点

2、,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为　()A.B.C.-D.-【解析】选B.设正方体棱长为1,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示,则D(0,0,0),E,A(1,0,0),C(0,1,0),所以=,=(-1,1,0),则cos<,>===,则异面直线DE与AC所成的角的余弦值为.【加固训练】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为　　　　.【解析】以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(

3、1,0,1),C1(0,1,2),则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),

4、

5、=,

6、

7、=,·=1,cos<,>==,故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.答案:3.(2014·潮州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是　()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【解题指示】建立空间直角坐标系,转化为研究MN与平面BB1C1C的一个法向量的位置关系求解.【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,

8、建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N.所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).所以·=0.所以⊥.因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.4.P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α,β平面上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为　()A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】选D.不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,如图.因为∠EPM=∠FP

9、N=45°,所以PE=a,PF=b,所以·=(-)·(-)=·-·-·+·=abcos60°-a×bcos45°-abcos45°+a×b=--+=0.所以⊥,所以二面角α-AB-β的大小为90°.5.(2014·青岛模拟)如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解题提示】以A为原点建立空间直角坐标系求解.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a

10、,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),AGn0,1由n1=(1,-1,1).ACn01设GB与平面AGC所成角为θ,

11、BGn

12、则sinθ=1==.

13、BG

14、

15、n

16、1【误区警示】求解本题时需注意直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量所成角之间的关系,否则易致误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2014·西安模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠AC

17、B=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成的角为　　　　.【解析】建立空间直角坐标系如图所示,易得M,A1(0,,0),A(0,,),B1(1,0,0),所以=(1,-,-),=.所以·=1×0+3-=0,所以⊥,即AB1⊥A1M.答案:90°7.已知空间不共面四点O,A,B,C,·=·=·=0,且

18、

19、=

20、

21、=

22、

23、,=,则OM与平面ABC所成角的正切值是　　　.【解析】由题意可知,OA,OB,OC两两垂直,如图,建立空间直角坐标系O-xyz,设OA=OB=OC=1,则A(1,0,0

24、),B(0,1,0),C(0,0,1),M,故=(-1,1,0),=(-1,0,1),=.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),nAB,则由得nAC,令x=1,得平面ABC的一个法向量为