高考数学复习专题练习选修4-4 第1讲 坐标系.pdf

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1、选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系一、填空题π1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点(2，到直线l的距离为6)________．π解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点(2，化为直角坐标为(3，1)，∴6)π点(2，到直线l的距离为2.6)答案　2π2．在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A(4，到圆心C的距离6)是________．解析　将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心π坐标为(0,2)．又易知点A(4，的直角坐标为(23，2)，故点A到圆心的距离6)为0－232＋2－22＝23.答案　233．在极

2、坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－22sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析　由ρ＝6cosθ－22sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－22ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋22y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋2)2＝11，故圆心的坐标为(3，－2)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.答案　ρcosθ＝3ππ4．在极坐标系中，点M(4，到曲线ρcosθ－＝2上的点的距离的最小值为3)(3)________．解析　依题意知，点M的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x＋3y－4＝0，

3、因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为

4、2＋23×3－4

5、＝2.12＋32答案　25．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝8的距离的最大值是________．解析　把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋3sinθ)＝8化为8直角坐标方程为x＋3y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和2圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.答案　8π6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、4B两点，则线段AB＝________.解析　曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的

6、一个公共点．由Error!得Error!即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB＝2.答案　2π7．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcosθ＝0，点P的极坐标为(2，2)过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析　圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcosθ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线

7、－k＋2

8、33方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tanα＝.易知k2＋144满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角

9、，∴两4条切线夹角的正切值为.34答案　38．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析　注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即

10、3×1＋4×－2＋m

11、＞1，

12、m－5

13、＞5，解得，m＜0或m＞10.5答案　(－∞，0)∪(10，＋∞)二、解答题9．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，

14、已知点P的直角坐标ππ为(1，－5)，点M的极坐标为(4，，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C2)3以M为圆心、4为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．πy＋5解　(1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan，此方程可化为＝3πsin3x－1y＋5x－1，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为Error!(a为参πππcossincos333数)．如图，设圆上任意一点为Q(ρ，θ)，则在△QOM中，由余弦定理，得QM2＝QO2＋OM2－2·QO·OMcos∠QOM，π∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos(θ－.2)化简得ρ＝

15、8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是3x－y－5－3＝0，

16、0－4－5－3

17、9＋3圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，3＋12所以直线l和圆C相离．10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C