高考数学复习专题练习第1讲 归纳与类比.pdf

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1、第十二章推理证明、算法初步、复数第1讲归纳与类比一、选择题1．观察下列事实：

2、x

3、＋

4、y

5、＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，

6、x

7、＋

8、y

9、＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，

10、x

11、＋

12、y

13、＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则

14、x

15、＋

16、y

17、＝20的不同整数解(x，y)的个数为()．A．76B．80C．86D．92解析　由

18、x

19、＋

20、y

21、＝1的不同整数解的个数为4，

22、x

23、＋

24、y

25、＝2的不同整数解的个数为8，

26、x

27、＋

28、y

29、＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得

30、x

31、＋

32、y

33、＝n的不同整数解的个数为4n，故

34、x

35、

36、＋

37、y

38、＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案　B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()．A．289B．1024C．1225D．1378解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－

39、1)＋(1＋2＋3nn＋1＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该2数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案　C3．下面几种推理过程是演绎推理的是()．A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋

40、，由此归纳出{an}的通项公式2(an－1)解析　A、D是归纳推理，B是类比推理；C运用了“三段论”是演绎推理．答案　C4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()．A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析　由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案　D5．给出下面类比推理命题(其中

41、Q为有理数，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则

42、x

43、<1⇒－1

44、z

45、<1⇒－1

46、答案　B6．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为()．A．3125B．5625C．0625D．8125解析　∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125,510＝9765625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)∴52011与57的末四位数字相同，均为8125.故选D.答案　D二

47、、填空题7．以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足a21＋a2＝1，则a1＋a2≤2”的证明过程：证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a2＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________________________________(不必证明)．解析　依题意，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a

48、n)2，则有f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋…＋an)]2－4n＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，即有a1＋a2＋…＋an≤n.答案　a1＋a2＋…＋an≤n8．对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成