2019届高考数学二轮复习 专题六 第1讲 选修4-4 坐标系与参数方程学案

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1、第1讲选修4-4坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方

2、程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b．3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ．4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．设P是直线上的任一

3、点，则t表示有向线段的数量．5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．热点一　曲线的极坐标方程【例1】(2019·呼和浩特期中)在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求与的直角坐标方程；（Ⅱ）若与的交于点，与交于、两点，求的面积．解（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，∴根据题意，曲线的普通方程为∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普

4、通方程为，即，（Ⅱ）∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程为，联立与:，得，解得，∴点的坐标，点到的距离.设，将代入，得，则，，,∴．探究提高　进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．【训练1】(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ．(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状

5、；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离．解　(1)由C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，∴x－y－1＝0，表示一条直线．由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1，∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆．(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心．∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，因此两交点A，B间的距离

6、AB

7、＝2r＝2．热点二　参数方程及其应用【例2】(2019·湖北联考)在直角坐标系中，曲线（为

8、参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线与直线l的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；（2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围.解（1）曲线，即，即，即或，由于曲线过极点，∴曲线的极坐标方程为直线，即，即，即，直线的极坐标方程为；（2）由题得，设为线段的中点，圆心到直线的距离为，则它在时是减函数，∴的取值范围．探究提高　1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方

9、程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．【训练2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求

10、PM

11、·

12、PN

13、的值

14、．解　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得x＋y－1＝0．曲线C的参数方程为(θ为参数)，利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．由直线参数方程