高考数学二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文

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1、第1讲　坐标系与参数方程高考定位　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真题感悟1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且

2、OM

3、·

4、OP

5、＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.解　(1)设P的极坐标为(ρ

6、，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题设知

7、OP

8、＝ρ，

9、OM

10、＝ρ1＝.由

11、OM

12、·

13、OP

14、＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).由题设知

15、OA

16、＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝

17、OA

18、·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐

19、标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解　(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.曲线C的标准方程是＋y2＝1，联立方程解得或则C与l交点坐标是(3，0)和.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(3cosθ，sinθ).则P到l距离d＝＝，其中tanφ＝.又点C到直线l距离的最大值为.∴

20、5sin(θ＋φ)－4－a

21、的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.考点整合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系

22、中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2.直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ.4.直线的参数

23、方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).热点一　曲线的极坐标方程【例1】　(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.解　(1)因为x＝

24、ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即

25、MN

26、＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.【迁移探究1】　本例条件不变，求直线C1与曲线C3交点的极坐标.解　联立方程解之得θ＝且ρ＝－2.所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为.【迁移探究2】　本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程.解　∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在

27、圆C2上，∴(－ρ)2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0，故所求圆C2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0.探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极