高考数学二轮复习专题八系列4选讲第1讲坐标系与参数方程专题突破讲义文

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1、第1讲　坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.热点一　极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则例1　(2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已

2、知点A，点B在直线l：ρcosθ＋ρsinθ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB最短时，求点B的极坐标．解　以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A的直角坐标为(0,2)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝0.当线段AB最短时，点B为直线x－y＋2＝0与直线l的交点，解得所以点B的直角坐标为(－1,1)．所以点B的极坐标为.思维升华　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．跟踪演练1　在直

3、角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2，C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解　(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，所以

4、MN

5、＝ρ1－ρ2＝.因为C

6、2的半径为1，所以△C2MN的面积为××1×sin45°＝.热点二　参数方程与普通方程的互化1．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．2．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．例2　(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l

7、的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由解得或从而C与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝.当a≥－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为.由题设得＝，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.思维升华　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参

8、法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．跟踪演练2　(2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ＝2sinθ.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求

9、PM

10、的值．解　(1)因为直线的参数方程是(t为参数)，消去

11、参数t，得直线l的普通方程为x－y＋3＝0.由曲线C的极坐标方程ρcos2θ＝2sinθ，得ρ2cos2θ＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝2y.(2)由得x2－2x－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M.因为x1＋x2＝2，所以M(1,4)，又点P的直角坐标为(1,1)，所以

12、PM

13、＝＝3.热点三　极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．例3　(2017届湖

14、南省衡阳市联考)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝1，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M(x，y)，