高考数学二轮复习专题八系列4选讲第2讲不等式选讲专题突破讲义文

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1、第2讲　不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一　含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)

4、f(x)

5、0)⇔－a

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≤c，

10、x－a

11、＋

12、x－b

13、≥c的不

14、等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1　(2017届辽宁省葫芦岛协作体模拟)设函数f(x)＝

15、x＋2

16、－

17、x－1

18、.(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥

19、1－2m

20、有解，求实数m的取值范围．解　(1)∵f(x)＝

21、x＋2

22、－

23、x－1

24、＝当x≤－2时，f(x)＝－3<0，不合题意．∴当－21，得01恒成立，得x≥1.故不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)．(2)由(1)可知，f(x)的最大值为3，故f(x)＋4的最大值为7.

25、若关于x的不等式f(x)＋4≥

26、1－2m

27、有解，只需7≥

28、1－2m

29、，即－7≤2m－1≤7，求得m的取值范围为[－3,4]．思维升华　(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1　(2017届河北省石家庄二中三模)已知不等式

30、x－a

31、＋

32、2x－3

33、>.(1)已知a＝2，求不等式的解集；(2)已

34、知不等式的解集为R，求a的取值范围．解　(1)当a＝2时，可得

35、x－2

36、＋

37、2x－3

38、>2，当x≥2时，由3x－5>2，得x>，当x<时，由－3x＋5>2，得x<1，当≤x<2时，由x－1>2，得x∈∅，综上所述，不等式的解集为.(2)∵f(x)＝

39、x－a

40、＋

41、2x－3

42、的最小值为f(a)或f ，∵f(a)＝2，f ＝，∴f(x)min＝，令>，则－a>或－a<－，可得－3

43、

44、a

45、－

46、b

47、

48、≤

49、a±b

50、≤

51、a

52、＋

53、b

54、.

55、2．算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．例2　(2017届福建省福州质检)(1)求函数f(x)＝的最大值M；(2)若实数a，b，c满足a2＋b2≤c，求证：2(a＋b＋c)＋1≥0，并说明取等条件．(1)解　f(x)＝

56、≤＝1，当且仅当x≤－或x≥时等号成立，所以M＝1.(2)证明　2(a＋b＋c)＋1≥2(a＋b＋a2＋b2)＋1≥2＋1＝(a＋b＋1)2≥0，当且仅当a＝b＝－，c＝时取等号，所以存在实数a＝b＝－，c＝满足条件．思维升华　(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2　(2017届河北省衡水中学押题卷)已知a，b为任意实数．(1)求证：a4＋6a2b2＋b4≥4ab(a

57、2＋b2)；(2)求函数f(x)＝

58、2x－a4＋(1－6a2b2－b4)

59、＋2

60、x－(2a3b＋2ab3－1)

61、的最小值．(1)证明　a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.因为(a－b)4≥0，所以a4＋6a2b2＋b4≥4ab(a2＋b2)．(2)解　f(x)＝

62、2x－a4＋(1－6a2b2－b4)

63、＋2

64、x－(2a3b＋2ab3－1)

65、＝

66、2x－a4＋(1－6a2b2－b4)

67、＋

68、2x－2(2a3b＋2ab3－1)

69、≥

70、

71、[2x－2(2a3b＋2ab3－1)]－[2x－a4＋(1－6a2b2－b4)]

72、＝

73、(a－b)4＋1

74、≥1.即f(x)min＝1.热点三　柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3