高考数学大二轮复习-第二编 专题整合突破 专题八 系列4选讲 第二讲 不等式选讲适考素能特训 文

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1、专题八系列4选讲第二讲不等式选讲适考素能特训文1．[2016·湖北八校联考]已知函数f(x)＝

2、x－10

3、＋

4、x－20

5、，且满足f(x)<10a＋10(a∈R)的解集不是空集．(1)求实数a的取值集合A；(2)若b∈A，a≠b，求证：aabb>abba.解　(1)

6、x－10

7、＋

8、x－20

9、<10a＋10的解集不是空集，则(

10、x－10

11、＋

12、x－20

13、)min<10a＋10，∴10<10a＋10，∴a>0，A＝(0，＋∞)．(2)证明：不妨设a>b，则＝a－b，∵a>b>0，∴>1，a－b>0，a－b>1，∴aabb>abba.2．[2016·河南测试]已知函数f(x)＝

14、x－2

15、.(1)

16、解不等式f(x)＋f(x＋5)≥9；(2)若

17、a

18、<1，

19、b

20、<1，求证：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)．解　(1)f(x)＋f(x＋5)＝

21、x－2

22、＋

23、x＋3

24、＝当x<－3时，由－2x－1≥9，解得x≤－5；当－3≤x≤2时，f(x)≥9，不成立；当x>2时，由2x＋1≥9，解得x≥4.所以不等式f(x)＋f(x＋5)≥9的解集为{x

25、x≤－5或x≥4}．(2)证明：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)，即

26、ab＋1

27、>

28、a＋b

29、.因为

30、a

31、<1，

32、b

33、<1，所以

34、ab＋1

35、2－

36、a＋b

37、2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2＋2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，所以

38、ab＋1

39、

40、>

41、a＋b

42、，故所证不等式成立．3．已知函数f(x)＝

43、x－2

44、－

45、x＋1

46、.(1)解不等式f(x)>1；(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．解　(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1，综上，原不等式的解集是{x

47、x<0}．(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当ax＝，即x＝时“＝”成立，所以g(x)min＝2－1，5f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，所以2－1≥1

48、，即a≥1为所求．4．[2016·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝

49、2x－a

50、＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝

51、2x－1

52、.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解　(1)当a＝2时，f(x)＝

53、2x－2

54、＋2.解不等式

55、2x－2

56、＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x

57、－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝

58、2x－a

59、＋a＋

60、1－2x

61、≥

62、2x－a＋1－2x

63、＋a＝

64、1－a

65、＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于

66、1－a

67、＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等

68、价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．5．[2016·湖北七市联考]设函数f(x)＝

69、x－a

70、，a∈R.(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；(2)记函数g(x)＝f(x)－

71、x－2

72、的值域为A，若A⊆[－1,3]，求a的取值范围．解　(1)由于a＝1，故f(x)＝当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤.当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为∪[3，＋∞)．(2)当a<2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2,2－a]，由A⊆[－1,3]，得解得a≥1

73、，又a<2，故1≤a<2；当a≥2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，由A⊆[－1,3]，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.综上，a的取值范围为[1,3]．6．[2016·西安交大附中六诊]设函数f(x)＝＋

74、x－a

75、.(1)求证：当a＝－时，不等式lnf(x)>1成立；(2)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．解　(1)证明：由f(x)＝＋＝得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3>e.5所以lnf(x)>1成立．(2)由绝对值的性质得f(x)＝＋

76、x－a

77、≥＝，所以f(x)最小值为，从而≥a，解得a≤，因此a的最大值为.57.[2016

78、·太原测评]对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式

79、a＋b

80、＋

81、a－b

82、≥M·

83、a

84、恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式

85、x－1

86、＋

87、x－2

88、≤m.解　(1)不等式

89、a＋b

90、＋

91、a－b

92、≥M·

93、a

94、恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，所以M的最大值m是的最小值．因为

95、a＋b

96、＋

97、a－b

98、≥

99、(a＋b)＋(a－b)

100、＝2

101、a

102、，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即

103、a

104、≥

105、b

106、时，≥2成立，所以m