高考数学大二轮复习-第二编 专题整合突破 专题四 数列 第二讲 数列求和及综合应用适考素能特训 文

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1、专题四数列第二讲数列求和及综合应用适考素能特训文一、选择题1．[2016·重庆测试]在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)A．n(3n－1)B.C．n(n＋1)D.答案　C解析　依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.2．[2016·郑州质检]正项等比数列{an}中的a1、a4031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3

2、的极值点，则loga2016＝(　　)A．1B．2C.D．－1答案　A解析　因为f′(x)＝x2－8x＋6，且a1、a4031是方程x2－8x＋6＝0的两根，所以a1·a4031＝a＝6，即a2016＝，所以loga2016＝1，故选A.3．[2016·太原一模]已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)A．－30B．－60C．90D．120答案　D解析　由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)

3、时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.故选D.4．某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公

4、园内的人数是(　　)A．211－47B．212－57C．213－68D．214－80答案　B解析　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn则an＝4×2n－1，bn＝7n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝212－57.5．已知曲线C：y＝(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴

5、的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么(　　)A．x1，，x2成等差数列B．x1，，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列答案　A解析　由题意，得B1，B2两点的坐标分别为，.所以直线B1B2的方程为y＝－(x－x1)＋，令y＝0，得x＝x1＋x2，所以x3＝x1＋x2，因此，x1，，x2成等差数列．6．[2016·江西南昌模拟]设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有

6、an－A

7、

8、<ε成立，就称数列{an}的极限为A.则四个无穷数列：①{(－1)n×2}；②；③；④{1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n}，其中极限为2的共有(　　)A．4个B．3个C．2个D．1个答案　D解析　对于①，

9、an－2

10、＝

11、(－1)n×2－2

12、＝2×

13、(－1)n－1

14、，当n是偶数时，

15、an－2

16、＝0；当n是奇数时，

17、an－2

18、＝4，所以数列{(－1)n×2}没有极限，所以2不是数列{(－1)n×2}的极限．对于②，

19、an－2

20、＝＝＝＋>1，所以对于正数ε0＝1，不存在正整数N，使得n>N时，恒有

21、an－2

22、<ε0

23、成立，即2不是数列的极限．7对于③，

24、an－2

25、＝＝＝，令<ε，得n>1－log2ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有

26、an－2

27、<ε成立，所以2是数列的极限．对于④，当n≥2时，

28、an－2

29、＝

30、1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n－2

31、＝2×22＋3×23＋…＋n×2n>1，所以对于正数ε0＝1，不存在正整数N，使得n>N时，恒有

32、an－2

33、<ε0成立，即2不是数列{1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n}的极限．综上所述，极限为2的数列共有1个．二、填空题7．[2016

34、·陕西质检二]已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．答案　3n－1解析　∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}为等比数列，且公比为3，∴Sn＝3n－1.8．[2016·唐山统考]Sn为等比