选修4-4 第1讲 坐标系

《选修4-4 第1讲 坐标系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为2.答案　22．(2013·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．解析　将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易

2、知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.答案　23．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－2sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析　由ρ＝6cosθ－2sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.答案　ρcosθ＝34．(2013·华南师大模拟)在极坐标

3、系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．解析　依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.答案　25．在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝8的距离的最大值是________．解析　把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cosθ＋sinθ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最

4、大距离是8.答案　86．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.解析　曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.答案　7．(2013·湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcosθ＝0，点P的极坐标为过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．解析　圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcosθ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋

5、y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tanα＝.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为.答案　8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析　注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－

6、1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即＞1，

7、m－5

8、＞5，解得，m＜0或m＞10.答案　(－∞，0)∪(10，＋∞)二、解答题(共20分)9．(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．解　(1)由

9、题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan，此方程可化为＝，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)．如图，设圆上任意一点为Q(ρ，θ)，则在△QOM中，由余弦定理，得QM2＝QO2＋OM2－2·QO·OMcos∠QOM，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos.化简得ρ＝8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是x－y－5－＝0，圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，所以直线l和圆C相离．10．(10分)(2012·辽宁)

10、在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解　(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解得ρ＝2，θ＝±，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一　由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．故圆C1与C