一轮复习配套讲义：选修4-4 第1讲 坐标系

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1、第1讲　坐标系[最新考纲]1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，

2、以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直

3、线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ.诊断自测1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________．解析　直接利用

4、极坐标与直角坐标的互化公式．答案　2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析　∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.答案　x2＋y2－4x－2y＝03．(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析　ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρc

5、osθ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为.答案　4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为2.答案　25．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．解析　将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y

6、2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0.∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.答案　考点一　极坐标与直角坐标的互化【例1】(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．解　(1)∵x＝－5cos＝－，y＝－5sin＝－，∴点M的直角坐标是.(2)ρ＝＝＝2，tanθ＝＝.∵点M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝.因此，点M的极坐标是.规律方法(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，

7、否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．【训练1】(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解　(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，点M的直角坐标是(－4,4)．(2)ρ＝＝2，tanθ＝＝－，又因为点在第四象限，得θ＝.因此，点P的极坐标为.考点二　直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与

8、x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解　(1)∵ρcos＝1，∴ρcosθ·cos＋ρsinθ·sin＝1.又，∴x＋y＝1.即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0