一轮复习配套讲义：选修4-4 第2讲 参数方程

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1、第2讲　参数方程[最新考纲]1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．3．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知识梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数

2、)．(3)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．(4)抛物线方程y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．诊断自测1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是________．①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．解析　∵ρcosθ＝x，∴cosθ＝代入到ρ＝cosθ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵相加得x＋y＝1，表示直线．答案　④2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.解析　参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－×＝

3、－1，解得k＝－6.答案　－63．(2012·北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．解析　直线方程可化为x＋y－1＝0，曲线方程可化为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝＜3.∴直线与圆相交有两个交点．答案　24．已知直线l：(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为________．解析　设点Q(x，y)为直线上的点，则

4、QA

5、＝＝＝4，解之得，t＝±2，所以Q(－3,6)或Q(5，－2)．答案　(－3,6)和(5，－2)5．(2013·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，以极点为原点

6、，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．解析　由ρ＝2cosθ知，ρ2＝2ρcosθ所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，故其参数方程为(θ为参数)．答案　(θ为参数)考点一　参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)(t为参数)；(2)(t为参数)；(3)(t为参数)．解　(1)由x＝1＋t得t＝2x－2.∴y＝2＋(2x－2)．∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．(3)∴①2

7、－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．规律方法参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．【训练1】将下列参数方程化为普通方程．(1)(θ为参数)；(2)(t为参数)．解　(1)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．(2)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.考点二　直线与圆参数

8、方程的应用【例2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求

9、PA

10、＋

11、PB

12、.解　(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ.∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由

13、上式及t的几何意义得

14、PA

15、＋

16、PB

17、＝

18、t1

19、＋

20、t2

21、＝t1＋t2＝3.规律方法(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝

22、PP0

23、时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则

24、P1P2

25、＝

26、t1－t2

27、，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,