选修4-4第2讲：参数方程(教师版)

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1、选修牛4第2讲：参数方程(教师版)参数方程1•了解直线参数方程，曲线参数方程的条件及参数的意义2•会选择适当的参数写出曲线的参数方程3•掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4•了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一•参数方程的定义1•一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量?x?f(t)?x?f(t)t的函数:?；反过来，对于t的每个允许值，由函数式?所确定的点P(x,y)都在y?g(t)y?g(t)

2、???x?f(t)曲线C上，那么方程?叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数.相对于参数方y?g(t)?程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程.2.关于参数的说明.参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义.3.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数X、y屮的一个与参数t的关?x?f(t)系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的？，就是参数方程.y?g(t)?二•圆的参数方程?x?rcost点P的横坐

3、标X、纵坐标y都是t的函数:?（t为参数）.y?rsint?我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程.圆的圆心为01（a,b）,半径为r的圆的参数方程为：?x?a?rcost（t为参数）.?y?b?rsint?122xy?x?acos?三.椭圆2+21（a>b>0）的参数方程为?（0为参数）.规定9的范围为0丘[0,aby?bsin??2Ji）.这是中心在原点0、焦点在x轴上的椭圆参数方程.22xy?x?asec?四.1的参数方程为?（<1）为参数）.规定4）的范围为4）e[0,2

4、n）,aby?btan??H3H且e工e工这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线参数方程.22??x=2pt,五.曲线C的参数方程为?（t为参数，teR）其中p为正的常数.这是焦点在x轴正半?y=2pt?2轴上的抛物线参数方程.六•直线的参数方程?x?xO?tcos?l.ii定点M0（x0,y0）、倾斜角为Q的直线I的参数方程为?（t为参数），这一形?y?yO?tsin?式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值.当t>0ff时，MOM的方向向上；当tvo时，M

5、OM的方向向下；当点M与点M0重合时，t=0.2.若直线的参数方程为一般形式为：??x=xO+at,?（t为参数），?y=yO+bt??x?xO?t?cos?可把它化为标准形式：？（t‘为参数）.y?y?t?sin?O?b其中a是直线的倾斜角，tana=,此时参数t‘才有如前所说的几何意义.a类型一•参数方程与普通方程的互化?x?3cos?例1：指出参数方程??y?3sin??0为参数，0<0n表示什么曲线?2???x?3cos?22解析：由？（。为参数）得x+y=9・?y?3sin?兀又由0V

6、0V,得0VxV3,0

7、数方程为?（t为参数）'直线12的方程为y=3x+4,则II与12间的距y?l?3t?离为.解析：由条件知,11〃12,在II中令t=0,则得坐标为（1丄）・由点到直线距离公式得II与12距离为■■?x?l?2t/?x?s/练习2：若直线ll:?（t为参数）与直线I2:?（s为参数）垂直，则k=.y?2?kty?l?2s??解析：由II消去参数t得,y??为・2.•・•两直线垂直,?（?2）?⑺??匕得k=-l.答案…1类型二•曲线参数方程例3：已知点P（x,y）在曲线?kkkx?2?,斜率为•

8、•由12消去参数s得zy?l?2xz斜率222k2y?x??2?cos?,（?为参数）上侧的取值范围为・x?y?sin?解析：曲线?yy?x??2?cos?,（?为参数）是以（・2,0）为圆心，以1为半径的圆,设?k,求的取值xx?y?sin?范围，即求当直线y=kx与圆有公共点时k的取值范围’如图22-60结合圆的几何性质可得?k?3故填［?33答案订l?x?2cos?,(??R)上任一点，设P到直线l:y二?的距离为2?y?l?cos2?练习已知点A(1,O),P是曲线？«则

9、PA

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