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1、广东北江中学高二数学补充讲义选修4—4第二讲参数方程问题1：弹道曲线我们在观看革命历史战争影片时,经常见到我人民解放军炮击敌人阵地的场景.从物理学角度来说,炮弹飞行的弹道轨迹是斜抛运动.现已知一门火炮发出炮弹的初速度米/秒,发射的仰角为(设重力加速度为问:(1)炮弹飞行的弹道曲线方程是怎样的?是哪种类型的曲线?(2)当为多少度时,炮弹飞行的距离最远?点拨提示:(1)斜抛运动可分解成一个质点M在水平方向作匀速直线运动和垂直方向作竖直上抛运动,建立直角坐标系后,按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式可得弹道曲
2、线方程(为参数)消去可得抛物线方程;(2)由二次函数的性质可求得满足条件.问题2.如何将参数方程化为普通方程？普通方程和参数方程是曲线方程的两种不同表达方式.为了判断曲线的类型或研究曲线的几何性质,需要将参数方程化为普通方程.常见的消参数的方法有代入消元法、三角消元法两种.代入消元法一般适用一般变量的参数方程消去参数三角消元法一般适用以角为参数的参数方程消去参数.问题3.常用曲线的参数方程1．圆的参数方程为，参数的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度．2．椭圆的参数方程为．3．双曲线的参数方程为参数方程第9
3、页共9页广东北江中学高二数学补充讲义4．抛物线的参数方程．5．过点P斜率为的直线的参数方程为;过点P,倾斜角为的直线的参数方程为，此时
4、t
5、表示参数t对应的点M（x,y）到定点M0(x0,y0)的距离）．运用参数及其几何意义解决有关问题，计算较简单．题1:下列以为参数的参数方程所表示的曲线中,与方程所表示的曲线相同的是A.B.C.D.答案:用三角消元法,注意到曲线中变量的范围都是,选D.题2.曲线C:(为参数)所对应的普通方程为答案:用代入消元法得:题3.参数方程为参数)表示是曲线C是什么?解:故曲线C是
6、以为方程的线段名师讲析:要知道参数方程所表示的曲线是什么,可通过消去参数得到普通方程,再根据所学知识进行判断,但要注意消参数的过程中变量的取值范围与原来保持一致.尤其是以角为自变量,含正弦函数和余弦函数的参数方程更要关注.题4.方程为参数)所代表的曲线是什么?它的中心坐标是怎样的?解:将代入整理得知所代表的曲线是双曲线.参数方程第9页共9页广东北江中学高二数学补充讲义中心坐标为名师讲析:我们在研究参数方程所代表的曲线的几何性质时,往往先将参数方程化为普通方程求解.本题使用的是代入消元法.题5:将参数方程为
7、参数)化为普通方程.解:故即名师讲析:用三角消元法消参时经常要利用同角关系式和倍角公式.题型1:用代入消元法将参数方程化为普通方程的基本方法题6.已知曲线C的参数方程为(其中参数）(1)求曲线C的普通方程,并说明是什么类型的曲线?(2)求点到曲线C上的点的最短距离.审题指导:用代入消元潜能消参后可得曲线C的普通方程,可判断是什么曲线.再据曲线C的几何特征使问题获解.解(1)将代入整理得:,故曲线C是以原点为顶点,为焦点的抛物线.(2)据抛物线的性质知,为P点曲线C上的点的最短距离.题7把方程化为参数方程．
8、[解析]原方程可化为联想到三角函数平方关系：，可令，得题型2:用三角消元法将参数方程化为普通方程的基本方法题8..设P(x，y)是曲线C：（θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，(1)将曲线化为普通方程;(2)求的取值范围.．(1)(x+2)2+y2=1(5分)(2)设y=kx,则kx-y=01=(7分)∴k2=,k=(9分)参数方程第9页共9页广东北江中学高二数学补充讲义∴(10分题9.已知曲线C的参数方程为(其中,为参数)(1)求曲线C的普通方程(2)求曲线C内接矩形面积的最大值.审题指导:用三角消元潜
9、能消参后可得曲线C的普通方程,可判断是什么曲线.再据曲线C的对称性使问题获解.解(1)由……①由……②两式的平方和得:(2)方法1:设为椭圆上任一点,由椭圆的对称性知故方法2:设为椭圆上第一象限弧上任一点,由椭圆的对称性知故当时,题型3:直线的参数方程的应用题10.已知直线与抛物线交于P，Q两点，求线段PQ的长和点T（1，-2）到Ｐ、Ｑ两点的距离之积．[解析]因为直线过定点T，且的倾斜角为，所以它的参数方程是，即，把它代入抛物线的方程，整理得，参数方程第9页共9页广东北江中学高二数学补充讲义设方程的两根为
10、，由韦达定理，得
11、PQ
12、=，
13、TP
14、·
15、TQ
16、=．[方法技巧]要求线段PQ的长，可用弦长公式得,或者先求出P，Q两点的坐标，再求解，但这样解题运算量比较大，如果考虑直线的参数方程，和韦达定理，则可获得较快捷的解法如下．题11.过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值解：设直线为，代入曲线并整理得则所以当时，即，的最小值为，此时题12.已知椭圆长轴
17、A1A2
18、=6，焦距
19、F1F2
20、=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于
