选修4－4　第1节　坐标系.doc

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1、选修4－4　坐标系与参数方程第一节　坐标系[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第198页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点

2、O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2tanθ＝(x≠0)4.圆的极坐标方程8曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)

3、5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝b(0＜θ＜π)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥

4、0)表示的曲线是一条直线．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤8C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝.]3．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则

5、AP

6、的最小值为________．1　[由ρ2－2ρcosθ

7、－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．又∵点A在圆C上，∴

8、AP

9、min＝

10、PC

11、－1＝2－1＝1.]4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为______．　[由2ρsin＝，得2ρ＝，∴y－x＝1.由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．∴点A到直线l的距离d＝＝.]5．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．[解]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系x

12、Oy.8圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.(对应学生用书第199页)平面直角坐标系中的伸缩变换　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．[解]　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.∴点A′的坐标为(1，－1)．(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6

13、·＝2x′，∴y＝x即为所求直线l′的方程．[规律方法]　伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程.易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x′，y′).8[跟踪训练]　求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程.【导学号：97190390】[解]　由