选修4-4坐标系与参数方程.doc

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1、.选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系本节主要包括2个知识点：1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.突破点(一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源”与“流”x′＝λ·xλ＞0，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换....[典例]求椭圆x224＋y＝1，经过伸缩变换

2、1，2x′＝x后的曲线方程．..y′＝y..1[解]由x′＝2x，y′＝yx22x＝2x′，得到①y＝y′.2224x′2..将①代入4＋y＝1，得4＋y′＝1，即x′＋y′＝1.x2222..因此椭圆4＋y＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x＋y＝1...[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式X＝axa>0，Y＝byb>0建立联系．(2

3、)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．..能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：变换所得的点A′的坐标．x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ....2.求直线l：y＝6x经过φ：22yx′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．x′＝3x，..3.求双曲线C：x－64＝1经过φ：2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．..2222xyX＝axa>0，..4.将圆x＋y＝

4、1变换为椭圆9＋4＝1的一个伸缩变换公式为φ：Y＝byb>0，..求a，b的值．突破点(二)极坐标系..基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同

5、一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面一个点的极坐标有无数种表示．..如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)222..互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ＝x＋y，ytanθ＝xx≠0..考点贯通抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1.极坐标方程化为直角坐标方程的步骤判断极坐标的极点与直角坐标系的

6、原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，第一步2若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化..第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcosθ，ρsinθ，ρ的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解..222第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式极坐标方程转化为直角坐标方程x＝ρcosθ，y＝ρsinθ及ρ＝x＋y将..2.直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x

7、，y分别用ρcosθ，ρsinθ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；yx第二步，根据角θ的正切值tanθ＝(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．..π2[例1]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－4＝2.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[方法技巧]1．应用互化

8、公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出