武汉大学2007-2008第二学期微积分(216)试题.doc

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1、武汉大学2007—2008学年第二学期《微积分》（216学时）考试试题（A卷）一、（36分）试解下列各题：1、在两边向量为的中，求边上的高；2、求通过直线且切于球面的平面方程；3、求曲线在点处的切线和法平面方程；4、设都是由定义，求；5、交换积分次序；6、计算二重积分，其中。二、（10分）求函数的极值。三、（12分）设函数具有连续导数，曲线积分与路径无关,1、求满足条件的函数；2、计算的值。四、（12分）证明级数收敛，并求其和。五、（15分）设有二元函数，1、求函数的二阶偏导数；2、求曲线积分,其中为位于第一象

2、限部分。六、（15分）试求向量穿过由所围成区域的外侧面（不包含上、下底面）的流量。武汉大学2007—2008学年第二学期《微积分》（A卷）（总学时216）考试试题参考解答一、解：1、的面积为:,又,,故2、通过直线的平面束方程为：（1）欲使平面（1）切于球面，则球心到此平面的距离为，即代入（1）得所求平面方程为：3、对方程组两边分别对求导，得，将代入得，解得，，故得法向量为：。故切线方程为：。法平面方程为：，即。4、由隐函数求导法则有：，所以5、由已知得：，所以，原式6、二、解：又求二阶导数：在点处，，故为所求

3、极小值。三、解：1、由且得解得：由，得：所以2、四、解：级数可写为，由故级数收敛。作函数级数此级数的收敛区间为，两边积分，有：将上式两边微分得：故五、解：1、当时，所以2、六、解：补充有向平面方向分别向下和上，记为圆台外侧，法向向外，是由所围成的闭区域，为的边界曲面的外侧，则所求流量为：所以