武汉大学微积分练习册

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1、高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页第1章极限理论初步§1—1集合及其初等运算A类1、设A、B分别为下列两个给定的集合：（1）A={1,3,5,7,9}B={2,4,6,8,10}（2）A为平面上三角形的全体；B为直角三角形的全体。（3）A={0,1,}B={1,}试求：AB;AB;AB;BA.2、设Ω为一非空集合，A、B、C为其子集，试证：（1）A(BC)=(AB)(AC)（2）（AB）C=(AC)(BC)（3）A(B∆C)=(AB)∆(AC)高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　

2、　　　　　　第19页3、证明：若一个数集的上确界（或下确界）存在，则上确界（或下确界）必唯一。4、设求，。且问min,max是否存在？5、对有限集合，用表示的元素的个数，证明：对建立类似的公式。6、用区间表示集合：其中高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页B类1、证明：有理数集是可数集。2、设为非空数集，记证明：(1)sup=max{sup,sup};(2)inf=min{inf,inf};(3)supmin{sup,sup}高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页§1—2映射

3、、函数A类1、设映射是可逆的，证明它的逆映射是唯一的。2、设与使两个任意映射，若，证明：是单射、是满射。3、求下列函数的自然定义域：（1）；（2）4、下列各题中，函数和是否相同？为什么？（1）；（2），;5、设，求函数值及。高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页6、设下面所考虑的函数都是定义在对称区间上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）任意函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和；（3）两个偶（奇）函数的乘积是偶函数；偶函数与奇函数的乘积是奇函数。7、设是定义在内的奇函数，若在内单调增加，证明在

4、内也单调增加。8、根据双曲函数的定义证明：。B类1、设是单射，试证：（1）对的任意两个子集有；（2）的充要条件为；高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页（3）；（4）若，则。2、设函数在区间单调增加，证明：函数也在单调增加。3、设试证：中至少有一个不小于2。4、设的定义域是，试求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页5、对于函数，如何选择邻域的半径，就能使与任一所对应的函数值都在邻域内。6、设，试求及。§1—3　数列极限A类1、

5、观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：1）；2）；3）；　4）。2、根据数列极限的定义证明下列各题：1）；2）高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页3）；3、求下列极限：1）；2）；3）；4）4、判断下列数列的收敛性：1）；高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页2）5、利用柯西准则证明以下数列收敛：1）2）高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页6、证明：若，，则。7、若单调增，单调减，且，则有（为有限常数）。B类1、设

6、数列有界，又，证明。2、举例说明下列陈述作为极限的定义是不正确的：1），当时，有成立。2）存在无限多个，满足不等式。高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页3、已知数列，求证。4、设，证明，并求极限。5、证明：若，且，则。高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页6、设为大于零的两个常数，数列由以下法则确定：证明：数列收敛于同一极限。7、若为个正数，证明：。高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页§1—4函数的极限A类1、根据函

7、数极限的定义证明：1）；2）3）4）2、证明函数当时极限为零。3、求，当时的左、右极限，并说明它们在时极限是否存在。高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页4、计算下列极限：1）2）3）4）5）6）7）8）（）9）10）高等数学习题纸　　　　　　　　　　　第1章　极限理论初步　　　　　　　　　　　　　　　第19页11）（为非零常数）12）13）（为常数）14）15）16）17）5、已知，证明