武汉大学近2年第二学期高数试卷.doc

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1、武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学A2》（216学时）考试试题（A卷）一、（24分）试解下列各题1、设有向量，求；2、设，求二阶偏导数；3、计算二重积分，其中；4、交换积分次序。二、（12分）设有直线和曲面,1、求曲面在点处的切平面和法线的方程;2、求通过直线且与法线平行的平面方程。三、（10分）求函数的极值。四、（12分）设函数具有连续导数，曲线积分与路径无关，1、求满足条件的函数；2、计算的值。五、（12分）证明级数收敛，并求其和。六、（15分）1、求函数的二阶偏导数；2、问微分方程的哪一条积分曲线通过点，在这点处有倾角为

2、的切线，且。七、（15分）试求向量穿过由所围成区域的外侧面（不包含上、下底面）的流量。武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学》（A卷）（总学时216）考试试题参考解答一、解：1、2、，，3、4、由已知得：，所以原式二、解：1、设故得曲面在点处的法向量为：。故切平面方程为：,即法线方程为：2、通过直线的平面束方程为：（1）欲使平面（1）与直线平行,则代入（1）得所求平面方程为：三、解：又求二阶导数：在点处，，故为所求极小值。四、解：1、由且得解得：由，得：所以2、五、解：级数可写为，由故级数收敛。作函数级数此级数的收敛区间为，两边积

3、分，有：将上式两边微分得：故六、解：1、当时，所以2、此方程的特征方程为：，解得：，即微分方程的通解为：，由积分曲线通过点，故得，（1）又在这点处有倾角为的切线，故有，即，（2）由题设知，即（3）联立（1）、(2)、(3)解得：则所求积分曲线为：七、解：补充有向平面方向分别向下和上，记为圆台外侧，法向向外，是由所围成的闭区域，为的边界曲面的外侧，则所求流量为：所以武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学A》（5学分）考试试题（B卷）一、（12分）展开为的幂级数，并求其收敛区间，利用上述展开式求级数的和。二、试解下列各题1、（10分）

4、下列四个点，是否共面？并说明理由。2、（6分）求过直线且平行于直线的平面方程。3、交换积分的次序。4、已知，试证三、（12分）设有函数，讨论：1、函数在点处的可微性；2、函数在点处偏导数存在性；3、函数沿任一方向的方向导数存在性。四、（10分）试求由球面及锥面所围成物之质量。已知其密度与到球心的距离的平方成正比，且在球面处等于。五、（10分）已知满足：且，，1、求函数的解析式；2、求函数的极值。六、（24分）求曲面积分其中为曲面的上侧；七、（10分）试函数具有中间变量的一阶连续导数，求证沿分段光滑的任意闭曲线积分：八、（6分）设为连续，且，

5、求证：，其中为常数。B卷武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学》（总学时180）考试试题参考答案一、1、解:，故收敛区间为由当时有二、解：1、将组成三向量，有三向量的混合积为：，所以三向量共面，故四点共面。2、所求平面方程为，即又平面平行于直线所以有故所求平面方程为：3、原式4、设则三、证明：1、由，故函数在点处不可微；2、所以函数在点处偏导数存在；3、不存在所以函数沿任一方向的方向导数并不都存在。四、解：解：设物体密度，当时，可知则五、解：1、由，故2、由故函数在点处取得极大值：六、解：由高斯公式，补充有向平面，方向向下，由所围

6、成的闭区域的外侧，七、解：由故函数沿分段光滑的任意闭曲线积分：八、证明:法一：令故有法二：证明:武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》（180学时）考试试题（A卷）一、（36分）试解下列各题：1、求通过直线且平行于直线的平面方程；2、在两边向量为的中，求边上的高；3、求曲面在点处的切平面和法线方程；4、设，求二阶偏导数；5、计算二重积分，其中；6、交换积分次序。二、（10分）求函数的极值。三、（12分）设函数具有连续导数，曲线积分与路径无关,1、求满足条件的函数；2、计算的值。四、（12分）证明级数收敛，并求其和。五、（15

7、分）1、求函数的二阶偏导数；2、问微分方程的哪一条积分曲线通过点，在这点处有倾角为的切线，且。六、（15分）试求向量穿过由所围成区域的外侧面（不包含上、下底）的流量。武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学B2》（180学时A卷)考试试题参考解答一、解:1、通过直线的平面束方程为：（1）欲使平面（1）平行于直线，则代入（1）得所求平面方程为：2、的面积为:,又,,故3、设故得曲面在点处的法向量为：。故切平面方程为：即法线方程为：4、，，5、6、由已知得：，所以有：原式二、解：又求二阶导数：在点处，，故为所求极小值。三、解：1、由且得

8、解得：由，得：所以2、四、解：级数可写为，由故级数收敛。作函数级数此级数的收敛区间为，两边积分，有：将上式两边微分得：故五、解：1、当时，所以2、此方程的特征方程为：，解得：，即