北林高数第二学期模拟试卷(a

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1、高数第二学期模拟试卷(A)一、填空题（每题3分，共30分）1．设，则2．极限=。3．设L为单位圆周，则对弧长的曲线积分=。4．=，其中是由所围成的区域。5．微分方程的解可设为。6．微分方程微的通解为.7．周期为的函数，它在一个周期上的表达式为，则的傅里叶级数的和函数在处的值为08．幂级数的收敛域为。9．双曲线绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为。10．曲面在点处的法线方程是.二、选择题（每题2分，共10分）1．[C]设是方程(*)的两个特解,则下列结论正确的是(A)是(*)的解(B)是方程的解;(C)是方程的解;(D)是(*)的解2．[C]设

2、常数，则级数（A）发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛或发散与的取值有关3．[D]设，则三重积分在球面坐标系下等于(A)(B)(C)(D)4．[A]收敛级数的部分和记为，则下列命题正确的是(A)存在（B）（C）（D）不一定有界5．[B]设直线为平面为,则(A)平行于平面(B)垂直于平面(C)在平面上(D)与相交，但不垂直三、（5分）设其中可微，求：解：四、（5分）设证明：=1。证明设，则，，，所以，，因此，即等式成立.五、（5分）设为上半球面，求曲面积分。解：六、（5分）计算二重积分，其中是由直线，及所围成的区域解：原式=七、（6分

3、）计算积分其中为椭圆的上半部分.,方向为逆时针方向.解：补充：线段，起点为，终点为记==而故=八、（6分）将函数展成的幂级数。解；由于故。九、（6分）设具有二阶连续导数，满足，求。解：，，，代入得，即故十、（6分）已知在全平面上与路径无关，其中具有连续的一阶导数，并且当是起点为，终点为的有向曲线时，该积分值等于，试求函数解：此积分与路径无关，得即解得解得故十一、（6分）计算曲面积分，其中为抛物面和平面所围成的区域的边界曲面的外侧。解：，十二、证明，其中是球面。证明：依题意即求在条件下的最小值令：解得故为在球面的最小值，因此十三、（5分）设

4、级数在上收敛，其和函数为，证明级数收敛。解；由于级数收敛,所以,因而有界.设,则.当时,,又级数收敛,由比较判别法知原级数绝对收敛,故级数收敛