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时间:2020-07-16
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1、数列部分知识点梳理一数列的概念1)数列的前项和与通项的公式①;2)数列的分类:①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如:④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.一、等差数列1)通项公式,为首项,为公差。前项和公式或.2)等差中项:。3)等差数列的判定方法:⑴定义法:(,是常数)是等差数列;⑵中项法:()是等差数列.4)等差数列的性质:⑴数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;⑵在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为
2、等差数列,公差为.⑶;(,是常数);(,是常数,)⑷若,则;⑸若等差数列的前项和,则是等差数列;⑹当项数为,则;当项数为,则.(7)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;(8)设,,,则有;(9)是等差数列的前项和,则;(10)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则 ①.为等差数列,公差为; ②.(即)为等差数列,公差; ③.(即)为等差数列,公差为.一、等比数列1)通项公式:,为首项,为公比。前项和公式:①当时,②当时,.2)等比中项:。;3)等比数列的判定方法:⑴定义法:(,是常数
3、)是等比数列;⑵中项法:()且是等比数列.4)等比数列的性质:⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;(2)(3)若,则;(4)若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.(5)设,是等比数列,则也是等比数列。 (6)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列); (7)设是正项等比数列,则是等差数列; (8)设,,,则有; (9)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则 ①.为等比数列,公比为;②.(即)为等比数列,公比为;二、解题技巧:A、数列求和的常用方法:
4、1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。2、错项相减法:适用于差比数列(如果等差,等比,那么叫做差比数列)即把每一项都乘以的公比,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。适用于数列和(其中等差)。可裂项为:,B、等差数列前项和的最值问题:1、若等差数列的首项,公差,则前项和有最大值。(ⅰ)若已知通项,则最大;(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最大;2、若等差数列的首项,公差,则前项和有最小值(ⅰ)若已知通
5、项,则最小;(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最小;C、根据递推公式求通项:1、构造法: 1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解 【例题】已知数列中,,求数列的通项公式. 2°递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解 【例题】,求数列的通项公式. 3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解 【例题】已知数列中,,求数列的通项公式. 4°递推关系形如",两边同除以 【例题】已知数列中,,求数列的通项公式. 【例题】数列中,,求数列的通项公式.2、迭代法: a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;【例题】已知数列中,
6、,求数列的通项公式b、已知关系式,可利用迭乘法.【例题】已知数列满足:,求求数列的通项公式;3、给出关于和的关系【例题】设数列的前项和为,已知,设,求数列的通项公式.
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