必修五数列知识点总结

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1、必修五数列★知识梳理1.数列的前项和与通项的公式①；②.例1.①已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.⑴；⑵.②设数列满足，则③数列中，，求的值.④已知数列的首项，其前项和．求数列的通项公式．⑤设、分别是等差数列、的前项和，，则.2.数列的单调性①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.2010-2011海淀区高三年级期中已知数列满足：（I）求的值；10（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.2.等差数列知识点通项公式与前项和公式⑴通项公式，为首项，为公差.⑵前项和公式或.等差中项:如果成等差数列，那么叫做与的等差

2、中项.即：是与的等差中项，，成等差数列.等差数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.⑶)是等差数列⑷是等差数列等差数列的常用性质⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；⑵等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.⑶；⑷若，则；⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；例2.已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.10等差数列的前项和的最值问题⑴若有最大值，可由不等式组来确定；⑵若有最小值，可由不等式组来确定.例2.已知为数列的前项和，，.⑴求数列的通项公式；⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不

3、小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.3.等比数列知识点通项公式与前项和公式⑴通项公式：，为首项，为公比.⑵前项和公式：①当时，②当时，.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等，，，，中项，，成等差数列.等比数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.等比数列的常用性质⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；10⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为.⑶⑷若，则；⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.例3.已知为等比数列前项和，，，则.4.数列的通

4、项的求法⑴利用观察法求数列的通项.⑵利用公式法求数列的通项：①；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②⑷构造等差、等比数列求通项：①；②；③例4.设数列的前项和为，已知，设，求数列的通项公式．（宣武二模理18）设是正数组成的数列，其前项和为，且对于所有的正整数,有．(I)求，的值；10(II)求数列的通项公式；（III）令，，（），求数列的前项和．例5.⑴已知数列中，，求数列的通项公式；⑵设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项.例6.⑴已知数列中，，求数列的通项公式；⑵已知数列中，，求数列的通项公式.例7.⑴数列中，，则的通项.10⑵数列中，，则的通项.例8.已

5、知数列中，，求数列的通项公式.5.数列求和基本数列的前项和⑴等差数列的前项和：⑵等比数列的前项和：①当时，；②当时，；数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.例.等差数列，公差，且，则.拆项分组法求和求数列的前项和.裂项相消法求和⑴数列的前项和10⑵求和：；⑶求和：.倒序相加法求和北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测已知函数，为正整数．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）若数列的通项公式为（），求数列的前项和；（Ⅲ）设数列满足：，，设，若（Ⅱ）中的满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求的最大值.例9.设是数列的前项和，，.⑴求的通项；

6、10⑵设，求数列的前项和.错位相减法求和若数列的通项，求此数列的前项和.【解析】，①②①-②，得..例10.已知为数列的前项和，，Sn+1=4an+2.⑴设数列中，，求证：是等比数列；⑵设数列中，，求证：是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和.例11.设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有．⑴求，判断并证明函数的单调性；10⑵数列满足,且求通项公式；北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测解：（Ⅰ）=1；===1；………………………………４分（Ⅱ）由（Ⅰ）得,即由,……………①得…………②由①＋②,得∴，…10分（Ⅲ）∵,∴对任意的.∴即.∴.10∵

7、∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴∴∴.而为正整数，∴的最大值为650.………………………………10