必修五数列知识点总结

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1、必修五数列★知识梳理1.数列的前项和与通项的公式①;②.例1.①已知下列数列的前项和,分别求它们的通项公式.⑴;⑵.②设数列满足,则③数列中,,求的值.④已知数列的首项,其前项和.求数列的通项公式.⑤设、分别是等差数列、的前项和,,则.2.数列的单调性①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.2010-2011海淀区高三年级期中已知数列满足:(I)求的值;10(Ⅱ)求证:数列是等比数列;(Ⅲ)令(),如果对任意,都有,求实数的取值范围.2.等差数列知识点通项公式与前项和公式⑴通项公式,为首项,为公差.⑵前项和公式或.等差中项:如果成等差数列,那么叫做与的等差

2、中项.即:是与的等差中项,,成等差数列.等差数列的判定方法⑴定义法:(,是常数)是等差数列;⑵中项法:()是等差数列.⑶)是等差数列⑷是等差数列等差数列的常用性质⑴数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;⑵等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.⑶;⑷若,则;⑸若等差数列的前项和,则是等差数列;例2.已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.10等差数列的前项和的最值问题⑴若有最大值,可由不等式组来确定;⑵若有最小值,可由不等式组来确定.例2.已知为数列的前项和,,.⑴求数列的通项公式;⑵数列中是否存在正整数,使得不等式对任意不

3、小于的正整数都成立?若存在,求最小的正整数,若不存在,说明理由.3.等比数列知识点通项公式与前项和公式⑴通项公式:,为首项,为公比.⑵前项和公式:①当时,②当时,.等比中项如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即:是与的等,,,,中项,,成等差数列.等比数列的判定方法⑴定义法:(,是常数)是等比数列;⑵中项法:()且是等比数列.等比数列的常用性质⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;10⑵在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.⑶⑷若,则;⑸若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.例3.已知为等比数列前项和,,,则.4.数列的通

4、项的求法⑴利用观察法求数列的通项.⑵利用公式法求数列的通项:①;⑶应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①;②⑷构造等差、等比数列求通项:①;②;③例4.设数列的前项和为,已知,设,求数列的通项公式.(宣武二模理18)设是正数组成的数列,其前项和为,且对于所有的正整数,有.(I)求,的值;10(II)求数列的通项公式;(III)令,,(),求数列的前项和.例5.⑴已知数列中,,求数列的通项公式;⑵设是首项为1的正项数列,且,则数列的通项.例6.⑴已知数列中,,求数列的通项公式;⑵已知数列中,,求数列的通项公式.例7.⑴数列中,,则的通项.10⑵数列中,,则的通项.例8.已

5、知数列中,,求数列的通项公式.5.数列求和基本数列的前项和⑴等差数列的前项和:⑵等比数列的前项和:①当时,;②当时,;数列求和的常用方法:拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.例.等差数列,公差,且,则.拆项分组法求和求数列的前项和.裂项相消法求和⑴数列的前项和10⑵求和:;⑶求和:.倒序相加法求和北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测已知函数,为正整数.(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)若数列的通项公式为(),求数列的前项和;(Ⅲ)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求的最大值.例9.设是数列的前项和,,.⑴求的通项;

6、10⑵设,求数列的前项和.错位相减法求和若数列的通项,求此数列的前项和.【解析】,①②①-②,得..例10.已知为数列的前项和,,Sn+1=4an+2.⑴设数列中,,求证:是等比数列;⑵设数列中,,求证:是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和.例11.设函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,有.⑴求,判断并证明函数的单调性;10⑵数列满足,且求通项公式;北京市宣武区2009~2010学年度第一学期期末质量检测解:(Ⅰ)=1;===1;………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得,即由,……………①得…………②由①+②,得∴,…10分(Ⅲ)∵,∴对任意的.∴即.∴.10∵

7、∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴∴∴.而为正整数,∴的最大值为650.………………………………10

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