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1、学案5函数与方程结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与根的个数.函数与方程1.函数与方程中函数的零点及二分法是新增内容,是高考必考内容.2.高考中多以难度较低的选择、填空为主，结合函数图象，考查图象交点，以及方程的根的存在性问题.3.在解答题中亦有考查,多定位于数形结合、分类讨论、函数与方程思想的应用,属于易错题型.4.方程与函数的相互转化，在以前的高考中都出现过，如“三个二次”的相互转化，指数、对数方程等，要做一些这方面的准备.函数的零点必将成为高考的重点,尤其以函数为载体考查方程根的个数
2、的判断,以及求参数的范围,将是重点考查的问题.1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与有交点函数y=f(x)有.f(x)=0x轴零点2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点
3、的关系f(a)·f(b)<0f(c)=0(a,b)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与X轴的交点无交点零点个数无(x1,0),(x2,0)(x1,0)两个一个4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间［a,b］,验证,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点c;第三步,计算:①若,则c就是函数的零点;②若,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若,则令a=c(此时零点x0∈(c,b));第四步,判断是否达到精确度ε:即若
4、a-b
5、<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.f(c)·
6、f(b)<0f(a)·f(b)<0f(c)f(c)=0f(a)·f(c)<0考点1函数零点的判断与求解设函数f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是()A.［-4,-2］B.［-2,0］C.［0,2］D.［2,4］【分析】利用函数零点的存在性定理进行判断.【解析】∵f(0)=4sin1>0,f(2)=4sin5-2<0,∴函数f(x)在［0,2］上存在零点；∵f(-1)=-4sin1+1<0,∴函数f(x)在［-2,0］上存在零点；又∵2<<4,F()=4-()>0,而f(2)<0,∴函数f(x
7、)在［2,4］上存在零点.故应选A.【评析】函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.【解析】考点2零点个数问题x2+2x-3,x≤0-2+lnx,x>0的零点个数为()A.0B.1C.2D.3［2010年高考福建卷］函数f(x)=C【分析】解方程求零点.x≤0x2+2x-3=0x>0-2+lnx=0∴f(x)的零点个数为2个.故应选C.【解析】由又得x=-3.得x=e2,【评析】分段函数求零点时应分段去求.求函数y=lnx+2x-6的零点个数为________.【解析】在同一坐标系中画出y=lnx
8、与y=6-2x的图象如图所示,由图已知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.考点3零点性质的应用（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值；（2）若函数f(x)=
9、4x-x2
10、+a有4个零点，求实数a的取值范围.【分析】(1)二次项系数含有字母,需分类讨论.(2)利用函数图象求解.【解析】(1)若a=0,则f(x)=-x-1,令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,解得a=-.综上
11、所述,a=0或a=-.(2)若f(x)=
12、4x-x2
13、+a有4个零点,即
14、4x-x2
15、+a=0有四个根,即
16、4x-x2
17、=-a有四个根.令g(x)=
18、4x-x2
19、,h(x)=-a.作出g(x)的图象如图所示,由图象可知,如果要使
20、4x-x2
21、=-a有四个根,那么g(x)与h(x)的图象应有4个交点.故需满足0<-a<4,即-422、函数与方程、数形结合的思想.若函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是.（1，+∞）【解析】令g（x）=ax（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，
